Baccalauréat S Métropole 21 juin 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$.
Soit $(P) $le plan d’équation cartésienne : $2x - z - 3 = 0$. On note $A$ le point de coordonnées $(1 ; a ; a^2)$, où $a$ est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A $ n’appartient pas au plan $(P)$.
Remplaçons $x,y$ et $z$ de l’équation du plan $\mathcal{P}$ par les coordonnées du point $A$.
$2-a^2-3=-a^2-1=-(a^2+1)<0$ pour tout réel $a$.
Quelle que soit la valeur du réel $a$, le point $A$ n’appartient pas au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ (de paramètre noté $t$) passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$.
   Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(2;0;-1)$.
   Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ est :
   $\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\end{cases}\quad,t\in \mathbb R$.
   $\quad$
   
   2. Soit $M$ un point appartenant à la droite $(D)$, associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. Exprimer la distance $AM$ en fonction du réel $t$.
   On a $M(1-2t;a;a^2-t)$.
   Donc, le repère étant orthonormé :
   $\begin{align*} AM&=\sqrt{(1+2t-1)^2+(a-a)^2+\left(a^2-t-a^2\right)^2} \\
   &=\sqrt{(2t)^2+0+(-t)^2}\\
   &=\sqrt{4t^2+t^2} \\
   &=\sqrt{5t^2}\\
   &=|t|\sqrt{5}
   \end{align*}$
   $\quad$
   On note $H$ le point d’intersection du plan $(P)$ et de la droite $(D)$ orthogonale à $(P)$ et passant par le point $A$. Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(P)$, et la distance $AH$ est appelée distance du point $A$ au plan $(P)$.
   
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance $AH$ du point A de coordonnées $(1 ; a ; a^2)$ au plan $(P)$ est minimale ? Justifier la réponse.
Le point $H$ appartient à la fois à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$.
Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2x-z-3=0\end{cases} &\iff\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2(1+2t)-\left(a^2-t\right)-3=0\end{cases} \\
&\iff\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\2+4t-a^2+t-3=0\end{cases} \\
&\iff\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\-a^2-1=-5t\end{cases} \\
&\iff\begin{cases} x=1+2t\\y=a\\z=a^2-t\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \\
&\iff\begin{cases} x=1+2\times \dfrac{1+a^2}{5}\\y=a\\z=a^2-\dfrac{1+a^2}{5}\\t=\dfrac{1+a^2}{5}\end{cases} \end{align*}$
D’après la question précédente, on a :
$AH=\left|\dfrac{1+a^2}{5}\right|\sqrt{5}= \dfrac{1+a^2}{\sqrt{5}}$
La fonction carré admettant un minimum en $0$, la distance $AH$ est minimale si $a=0$.
$\quad$