Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 - Correction de l'Exercice 4

Page 8 sur 10: Correction de l'Exercice 4

 

Exercice 4  5 points


Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
  2. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité :
    • Méthode 1 :
      Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
      Alors
      $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
      $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
      D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
    • Méthode 2 :
      On étudie le sens de variation de $f: x\mapsto \dfrac{1 + 3x}{3 + x} $
      Pour tout réel $x \in ]-3;+\infty[$; on a $f'(x)= \dfrac{3(3+x)-3(1+3x)}{(3 + x)^2}= \dfrac{6}{(3 + x)^2} $
      On a clairement $6>0$ et $(3+x)^2>0$; ainsi $f'(x)>0$ sur $]-3;+\infty[$.
      On a ainsi prouvé que $f$ est strictementv croissante sur $]-3;+\infty[$
      D'après l'hypothèse de récurrence, on a: $$u_n>1$$ Comme $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$ on déduit : $$f(u_n)>f(1)$$ soit : $$u_{n+1}>1$$

    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
    $~$
    Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l'inverse change le sens des inégalités !
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    2. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
    3. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
    4. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
      Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
      La suite est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.


Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
  2. i $1$ $2$ $3$
    u $0,800$ $1,077$ $0,976$
  3. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
    u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
    \end{array}$$

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

  4. Il semblerait que la suite $(u_n)$ « oscille » autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    2. $$\begin{array}{ll}v_{n+1}&= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\ &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }\\&=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}\\ &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\ &=\dfrac{-1}{3}v_n \end{array}$$ $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
      $~$
    3. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    4. Comme $(v_n)$ est géométrique, on a $v_n=q^nv_0$
      Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
      $~$
    3. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
    4. >$$\begin{array}{ll} v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}&\iff (1+u_n)v_n = u_n – 1\\ &\iff v_n+1=u_n-u_n \times v_n\\ &\iff u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n} \end{array}$$
    5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    6. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
      Par conséquent :
      $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

 

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