Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013
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Exercice 1 4 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25 % de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30 %.
- Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :- $H_{1}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ »,
- $H_{2}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ »,
- $H_{3}$ : «l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ »,
- $C$ : «l'arbre choisi est un conifère »,
- $F$ : «l'arbre choisi est un arbre feuillu ».
- Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
- Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$.
- Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$.
- L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
- On choisit au hasard un échantillon de $10$ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ arbres dans le stock. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$ conifères?
On arrondira à $10^{-3}$. - Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à $10^{-3}$.
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