Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 - Exercice 4

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Exercice 4  5 points

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
2. 1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
   2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.

Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
2. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
   i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
   u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
   \end{array}$$

   Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
   2. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
4. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
   2. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.