Lois à densité , exercices

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Métropole Septembre 2014

Dans cet exercice, on s’intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.

  1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
    $\quad$
    On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que l’espérance mathématique de $X$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$.
    $\quad$
    Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table est de $10$ minutes.
    a. Déterminer la valeur de $\lambda$.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’un client attende entre $10$ et $20$ minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    $\quad$
    c. Un client attend depuis $10$ minutes. Quelle est la probabilité qu’il doive attendre au moins $5$ minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}$.
    $\quad$
  2. Le deuxième restaurant a une capacité d’accueil de $70$ places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu’une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8$.
    $\quad$
    On note $n$ le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant.
    $\quad$
    On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y$ suit alors une loi binomiale.
    a. Préciser, en fonction de $n$, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y$, son espérance mathématique $E(Y)$ et son écart-type $\sigma(Y)$.
    $\quad$
    b. Dans cette question, on désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 64,8$ et d’écart-type $\sigma = 3,6$.
    $\quad$
    Calculer la probabilité $p_{1}$ de l’évènement $\{Z \leqslant 71\}$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
    c. On admet que lorsque $n = 81$, $p_{1}$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(Y \leqslant 70)$ de l’évènement $\{Y \leqslant 70\}$.
    $\quad$
    Le restaurant a reçu $81$ réservations.
    Quelle est la probabilité qu’il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?
    $\quad$
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

d’après Amérique du Nord mai 2013

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne $400$ grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins $385$ grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à $385$ grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à $385$ grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 400$ et d’écart-type $\sigma = 11$.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
P(X \leqslant x)&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{array}$$

  1. Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p$ qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
    $\quad$
  3. Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
    Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à $96\%$ ? On arrondira le résultat au dixième.
    On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $1$, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$.
    $\quad$

Partie B

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant $30$ jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
    $\quad$
    Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après $90$ jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement $60$ jours ?
    $\quad$
  3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
    $\quad$
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Liban mai 2013

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de $50$ grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».

La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre $0,16$ et $0,18$. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication $F_{1}$ et $F_{2}$.

 

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

La chaîne de production $F_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production $F_{1}$. Elle est cependant moins rapide.

Ainsi, dans la production totale, $70\%$ des petits pots proviennent de la chaîne $F_{1}$ et $30\%$ de la chaîne $F_{2}$.

La chaîne $F_{1}$ produit $5\%$ de compotes non conformes et la chaîne $F_{2}$ en produit $1\%$.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :

$E$ : « Le petit pot provient de la chaîne $F_{2}$ »

$C$ : « Le petit pot est conforme. »

$\quad$

  1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production $F_{1}$. »
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité de l’événement $C$.
    $\quad$
  4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $C$ est réalisé.
    $\quad$

Partie B

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $X$ suit la loi normale d’espérance $m_{1} = 0,17$ et d’écart-type $\sigma_{1} = 0,006$.
    Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
    \alpha& \beta&P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)\\ \hline
    0,13 &0,15 &0,000~4\\ \hline
    0,14 &0,16 &0,047~8\\ \hline
    0,15 &0,17 &0,499~6 \\ \hline
    0,16 &0,18 &0,904~4\\ \hline
    0,17 &0,19 &0,499~6\\ \hline
    0,18 &0,20 &0,047~8\\ \hline
    0,19 &0,21 &0,000~4 \\ \hline
    \end{array}$$
    Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{1}$ soit conforme.
    $\quad$
  2. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$, associe sa teneur en sucre.
    On suppose que $Y$ suit la loi normale d’espérance $m_{2} = 0,17$ et d’écart-type $\sigma_{2}$.
    On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne $F_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
    Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y – m_{2}}{\sigma_{2}}$.
    a. Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ?
    $\quad$
    b. Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l’intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l’intervalle $[0,16~;~0,18]$.
    $\quad$
    c. En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
    On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $1$.
    $$\begin{array}{|c|c|}\hline
    \beta&P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta)\\ \hline
    2,432~4 &0,985\\ \hline
    2,457~3 &0,986\\ \hline
    2,483~8 &0,987\\ \hline
    2,512~1 &0,988\\ \hline
    2,542~7 &0,989\\ \hline
    2,575~8 &0,990\\ \hline
    2,612~1 &0,991\\ \hline
    2,652~1 &0,992\\ \hline
    2,696~8 &0,993\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

d’après Amérique du Nord mai 2014

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.

On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

  1. Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
    Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
    $\quad$
  2. La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
    On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
    a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
    $\quad$
  3. Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
    On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
    a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
    $\quad$
Corrigé

 

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Exercices corrigés, Calculs de limites

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Déterminer dans chacun des cas la limite demandée.

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right)$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x}$
    $\quad$
  5. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x}$
    $\quad$
  6. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}}$
    $\quad$
  7. $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x+6}$
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Déterminer les limites suivantes :

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Déterminer les limites suivantes:

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}$
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2+4x}{-x^2-2x+8}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2} – \sqrt{x}}$
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x \rightarrow 9^-} \dfrac{\sqrt{9-x}}{x^2-81}$
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R\setminus \{-2;1 \}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+5x+1}{x^2+x-2}$.

Combien d’asymptotes possède la courbe représentative de cette fonction? Déterminer leur équation.

Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb R\setminus\{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

$\quad$

  1. Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale.
    $\quad$
  2. Etudier sa position relative par rapport à cette asymptote.
    $\quad$
  3. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)$.
    $\quad$
  4. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  5. Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai?
Corrigé
 

Exercice 8

Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16

 

 

 

 

 

 

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Exercices de géométrie dans l'espace Amérique du Nord 2014 , proposé par Robert BUTTIN

 

On a déjà cliqué sur :


• A
jusqu’à
• H
Puis
ABEF
BCFG
EFGH
• segAD
• segCD
• segDH

Maintenant, cliquer successivement sur les • :


• M
• N
• P
triMNP
• dteMP
• dteFG
• L
• dteLN
• T
• Q
triTGL (pour prolonger la face BCGF)
• dteEF
• R (le point)
triLRF (pour prolonger la face EFGH)
triAER (pour prolonger la face ABFE)
segRQ
• S
MPTQS (le pentagone)

 

 

 

 

  • Vues: 1114

Exercices sur les suites avec corrigé

 

 

$$ \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$ \newcommand{\limite}[4]{\ensuremath{\displaystyle\lim_{\substack{#2\to#3\\#1}}#4}}

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=u_n+2n+3\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Etudier la monotonie de $\left(u_n\right)$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
    2. Déterminer alors la limite de $\left(u_n\right)$.
  2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.
Corrigé
Exercice 2
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fraction irréductible.
  2. Conjecturer la formule qui donne $u_n$ puis la montrer par récurrence.
Corrigé
Exercice 3
Enoncé Soit la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par : \[ f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.\]
  1. Déterminer les variations de $f$ sur $[0;2]$.
    Montrer alors l'implication suivante : \[x\in [1;2] \Rightarrow f(x)\in [1;2].\]
  2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n[1;2]$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    Calculer alors sa limite.
Corrigé
Exercice 4
Enoncé Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Montrer que si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre $\ell$, alors $\ell$ est racine du polynôme : \[ P(x)=x^2+x-6. \]
  2. Déterminer les racines de $P$. On les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha > \beta$.
    Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$.
  3. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
  4. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Corrigé
Exercice 5
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=3\\ u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] et la suite $\left(v_n\right)$définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_n=\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}.\]
  1. Montrer que $\left(v_n\right)$est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
  2. En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé
Exercice 6
Enoncé On définit la suite $\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1 \end{array} \right. \]
  1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.
    Que peut-on conjecturer quant à la nature de $\left(u_n\right)$?
  2. On pose $v_n=u_n-4n+10$.
    1. Monter que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique que l'on caractérisera.
    2. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
    3. On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.\] Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
Exercice 7 Etude générale des suites de la forme $u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)$
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0\in\R\\ u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \] où P est un polynôme et où $\lambda\in\R*\setminus\{1\}$. On pose alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[ v_n=u_n+\text{Q}(n), \] où Q est un polynôme.
  1. Montrer l'équivalence suivante : \[ \left(v_n\right) \text{ est une suite géométrique} \Leftrightarrow \forall n\in\N,\ \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1). \] On suppose maintenant que $\text{P}(n)=an+b$, $a$ et $b$ étant deux réels non nuls.
  2. Trouver, en fonction de $\lambda$, $a$ et $b$, l'expression du polynôme Q.
  3. En déduire, en fonction de $\lambda$, $u_0$, $a$, $b$ et $n$, une expression de $v_n$, puis de $u_n$.
  4. Application : déterminer l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n-3n+7$.
    Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de $\left(u_n\right)$.
Corrigé
Exercice 8
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{3}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Déterminer le réel $\lambda$ tel que la suite géométrique $\left(v_n\right)$définie par :\[\forall n\in\N,\: v_n=u_n+\lambda,\ \lambda\in\R \] soit géométrique.
  2. Calculer alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé
Exercice 9
Enoncé Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n^2}$.
Corrigé
Exercice 10
Enoncé Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que : \[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l} u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\ v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n \end{array} \right.\] On pose alors pour tout entier naturel $n$ : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} a_n=u_n+v_n\\ b_n=4u_n-3v_n \end{array} \right. \]
  1. Montrer que $\left(a_n\right)$ est constante.
  2. Montrer que $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
  3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Démontrer que $\left(u_n\right)$ converge et donner sa limite.
Corrigé
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Exercices de géométrie dans l'espace avec corrigé

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\coordEsp}[3]{\left(#1\mathpunct{};#2\mathpunct{};#3\right)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$

 

Pour s'entraîner…

  

Exercice 1
Enoncé Dans chacune des questions suivantes, déterminer une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$, passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vv{u}$.
  1. $A(0;2;-1)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
  2. $A(-3;1;5)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$
  3. $A(2;-3;4)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
Indication
Corrigé
 
Exercice 2 - Intersection de deux plans
Enoncé Pour chaque question, déterminer l'équation de l'intersection des plans $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$.
  1. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):3x-y+z=7 \\ (\mathcal{P}_2):-x+3y+2z=1\end{array} \right.$
  2. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):x+y+z=1 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y+z=4\end{array} \right.$
  3. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):2x-2y+3z=4 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y-3z=2\end{array} \right.$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Droites confondues
Enoncé Soient $(\mathcal{D}_1)$ d'équation paramétrique : \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}t \\ y=-\frac{1}{4}+\frac{5}{4}t\\ z=t \end{array} \right.\;,t \in\R \] et $(\mathcal{D}_2)$ d'équation paramétrique : \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{9}{5}+\frac{6}{5}t \\ y=t\\ z=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}t \end{array} \right.\;, t~\in\R\;. \] Montrez que $(\mathcal{D}_1)$ et $(\mathcal{D}_2)$ sont confondues.
Indication On montre que les deux droites ont la même direction et qu'elles ont un point commun.
Corrigé
Exercice 4
Enoncé   Soit ABCDEFGH un cube comme représenté ci-dessous. On place les points I, J et K respectivement au milieu des côtés [DC], [GH] et [DH]. On fixe le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AD},\vv{AE}\right)$.
  1. Montrer que le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix}1 \\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (AEJI).
  2. En déduire une équation cartésienne du plan (AEJI).
  3. Calculer la distance du point K au plan (AEJI).
  4. En déduire le volume de la pyramide AEJIK.
  5. Donner une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$, perpendiculaire au plan (AEJI) et passant par K.\\ En déduire les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ avec le plan (AEJI).
Corrigé
Exercice 5
Enoncé Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ , on considère :
  • les points $A\coordEsp{1}{1}{1}$ et $B\coordEsp{3}{2}{0}$ ;
  • le plan $(\mathcal{P})$ passant par le point B et admettant le vecteur $\vv{AB}$ pour vecteur normal ;
  • le plan $(\mathcal{Q})$ d'équation : $x-y+2z+4=0$ ;
  • la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $A$ et de rayon $AB$.
  1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ est : $2x+y-z-8= 0$
  2. Déterminer une équation de la sphère $(\mathcal{S})$.
    1. Calculer la distance du point $A$ au plan $(\mathcal{Q})$.
      En déduire que le plan $(\mathcal{Q})$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S})$.
    2. Le plan $(\mathcal{P})$ est-il tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ ?
  3. On admet que le projeté orthogonal de$A$ sur le plan $(\mathcal{Q})$, noté $C$, a pour coordonnées $\coordEsp{0}{2}{-1}$.
    1. Prouver que les plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ sont sécants.
    2. Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'intersection des plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$.
      Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathcal{D})$ est : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} x=t\\ y=12-5t\\ z=4-3t \end{array} \right., t \in \mathbb{R} \]
    3. Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $(\mathcal{D})$.
    4. On appelle $(\mathcal{R})$ le plan défini par le point $A$ et la droite $(\mathcal{D})$.
      L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
      « Tout point du plan $(\mathcal{R})$ est équidistant des points $B$ et $C$ ».
      Justifier votre réponse.
Corrigé
Exercice 6
Enoncé L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.
partie A : Restitution organisée de connaissances
On considère :
  • le point $A\coordEsp{\alpha}{\beta}{\gamma}$ ;
  • le plan $\mathscr{P}$ d'équation : $ax+by+cz+d=0$ ;
  • $\vv{n}$ un vecteur normal de $\mathscr{P}$ ;
  • $H$, le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
On suppose connues les propriétés du produit scalaire suivantes : \begin{equation} \vv{u}\cdot \vv{v}=\|{u}\times\|{v}\times\cos\left(\vv{u},\vv{v}\right) \end{equation} \begin{equation} \vv{u}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \textrm{ et } \vv{v}\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix} \Rightarrow \vv{u}\cdot\vv{v}=xx'+yy'+zz' \end{equation}
  1. A l'aide de la formule $(1)$, exprimer $\left\vert \vv{AH}\cdot\vv{n}\right\vert$.
  2. A l'aide de la formule $(2)$, montrer que $\left\vert \vv{AH}\cdot\vv{n}\right\vert=\left\vert a\alpha+b\beta+c\gamma+d \right\vert$.
  3. En déduire que la distance du point A au plan $\mathscr{P}$ est donnée par la formule : \begin{equation} d\left(A;\mathscr{P}\right)=\frac{\left\vert a\alpha+b\beta+c\gamma+d \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{equation}
Partie B On considère les points $A\coordEsp{1}{2}{0}$, $B\coordEsp{4}{6}{3}$, $C\coordEsp{-\frac{9}{19}}{\frac{46}{19}}{\frac{6}{19}}$ et $D\coordEsp{\frac{1}{13}}{\frac{10}{13}}{\frac{83}{26}}$. On suppose que ces points ne sont ni alignés, ni coplanaires.
  1. Vérifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation : $-3y+4z+6=0$.
  2. Vérifier que le plan $(ABD)$ admet pour équation : $4x-3y+2=0$.
    1. Soit $\mathscr{P}$ l'ensemble des points équidistants des plans $(ABC)$ et $(ABD)$. Vérifier que $\mathscr{P}$ est la réunion de deux plans $\left(\mathscr{P}_1\right)$, d'équation $x-z-1=0$, et $\left(\mathscr{P}_2\right)$, d'équation $2x-3y+2z+4=0$.
    2. On note $\vv{n_i}$ un vecteur normal au plan $\left(\mathscr{P}_i\right)$ pour $i=1$ et $i=2$. Le plan bissecteur intérieur issu de $\vv{AB}$ est le plan $\left(\mathscr{P}_i\right)$ tel que $\vv{n_i}\cdot\vv{AC}$ et $\vv{n_i}\cdot\vv{AD}$ sont de signes contraires. Montrer que $\left(\mathscr{P}_2\right)$ est ce plan.

    On admet que $(DCB)$ admet pour équation $-2x+y+2z-4=0$ et que $(DCA)$ admet pour équation $x+2y+2z-5=0$.
  3. Montrer que le plan bissecteur intérieur issu de $\vv{CD}$ a pour équation $-x+3y+4z-9=0$. On nommera ce plan $\left(\mathscr{P}_3\right)$.
  4. Montrer que $\left(\mathscr{P}_2\right)$ et $\left(\mathscr{P}_3\right)$ se coupent suivant la droite $\mathscr{D}$ d'équation : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} x=5-6t\\ y=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}t\\ z=t \end{array} \right., t \in \R \]
    Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.
  5. Soit $\mathscr{E}$ l'ensemble des points $M$ de $\mathscr{D}$ tels que $\left(d(M;(ABC)\right)^2=\left(d(M;(DCB)\right)^2$.
    1. Montrer que $\mathscr{E}$ est composé de deux points dont on précisera les coordonnées.
    2. Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre $S\coordEsp{\dfrac{79}{143}}{\dfrac{314}{143}}{\dfrac{106}{143}}$ et de rayon $\dfrac{68}{143}$.
      Montrer que $\mathscr{S}$ est la sphère inscrite dans le tétraèdre $ABCD$, c'est-à-dire qu'elle est tangente à chacune des faces du tétraèdre.
Corrigé
Exercice 7
Enoncé Soit $$\Delta : \left\lbrace \begin{array}{l} x=2t-1\\ y=t+6\\ z=3t+3 \end{array} \right., t \in \R $$ Soit $M\coordEsp{0}{1}{2}$.
Calculer la distance entre le point et la droite.
Indication
Corrigé
Exercice 8 Distance d’un point à un plan
Enoncé Soient $P:-x+2y+3z+2=0$ et $A\coordEsp{2}{0}{1}$. Cherchons la distance du point au plan.
Indication
Exercice 9 Sphère circoncrite d'un tétraèdre
Enoncé Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB]. On note Q le point défini par $ \vv{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3} \vv{\text{AD}}$.


On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ  c'est-à -dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J .
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vv{\text{AP}},~ \vv{\text{AQ}},~ \vv{\text{AE}}\right)$.
  1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB].
  3. Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ].
    1. Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants.
    2. Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1\\ y &=& t\\ z &=& 3t - 4 \end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\]
    3. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I.
    4. Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
Exercice 10 Distance d’un point à un plan
Enoncé L'espace est muni d'un repère orthonormal \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\). On prend 1 cm comme unité.
Partie A — Restitution organisée de connaissances
Question 1
Soit \(D\) le point de coordonnées \((x_D, y_D, z_D)\) et \(P\) le plan d'équation \(a x + b y + c z + d = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
Démontrer que la distance du point \(D\) au plan \(P\) est donnée par : \(d (D,P) = \frac{|ax_D+by_D+cz_D+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Question 2
Partie B
On considère les points \(A\) de coordonnées \((3 ; - 2 ; 2)\), \(B\) de coordonnées \((6 ; - 2 ; - 1)\), \(C\) de coordonnées \((6 ; 1 ; 5)\) et \(D\) de coordonnées \((4 ; 0 ; - 1)\).
Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle. En déduire l'aire du triangle \(ABC\).
Question 3
Vérifier que le vecteur \(\overrightarrow{n}\) de coordonnées \((1 ; -2 ; 1)\) est normal au plan \((ABC)\). Déterminer une équation du plan \((ABC)\).
Question 4
Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). Déterminer le volume du tétraèdre \(ABCD\).
Question 5
Partie C
Soit \(Q\) le plan d'équation \(x - 2 y + z - 5 = 0\).
Déterminer la position relative des deux plans \(Q\) et \((ABC)\).
Question 6
\(Q\) coupe les droites \((DA)\), \((DB)\) et \((DC)\) respectivement en \(E\), \(F\) et \(G\).
Déterminer les coordonnées de \(E\) et montrer que \(E\) appartient au segment \([DA]\).
Question 7
Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d'initiative,même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD.
Corrigé

Figure de l'exercice 4

 

Figure de l'exercice 5

 

Figure de l'exercice 6

 

Animation de l'exercice 7

 

 


 

Animation de l'exercice 8

 

Animation de l'exercice 9

 

Figure de l'exercice 10

 

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