Exercices sur les suites avec corrigé

 

 

$$ \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$ \newcommand{\limite}[4]{\ensuremath{\displaystyle\lim_{\substack{#2\to#3\\#1}}#4}}

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=u_n+2n+3\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Etudier la monotonie de $\left(u_n\right)$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
    2. Déterminer alors la limite de $\left(u_n\right)$.
  2. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.
Corrigé
Exercice 2
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fraction irréductible.
  2. Conjecturer la formule qui donne $u_n$ puis la montrer par récurrence.
Corrigé
Exercice 3
Enoncé Soit la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par : \[ f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.\]
  1. Déterminer les variations de $f$ sur $[0;2]$.
    Montrer alors l'implication suivante : \[x\in [1;2] \Rightarrow f(x)\in [1;2].\]
  2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n[1;2]$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    Calculer alors sa limite.
Corrigé
Exercice 4
Enoncé Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Montrer que si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre $\ell$, alors $\ell$ est racine du polynôme : \[ P(x)=x^2+x-6. \]
  2. Déterminer les racines de $P$. On les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha > \beta$.
    Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$.
  3. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
  4. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Corrigé
Exercice 5
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=3\\ u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] et la suite $\left(v_n\right)$définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_n=\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}.\]
  1. Montrer que $\left(v_n\right)$est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
  2. En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé
Exercice 6
Enoncé On définit la suite $\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1 \end{array} \right. \]
  1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.
    Que peut-on conjecturer quant à la nature de $\left(u_n\right)$?
  2. On pose $v_n=u_n-4n+10$.
    1. Monter que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique que l'on caractérisera.
    2. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
    3. On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.\] Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
Exercice 7 Etude générale des suites de la forme $u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)$
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0\in\R\\ u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \] où P est un polynôme et où $\lambda\in\R*\setminus\{1\}$. On pose alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[ v_n=u_n+\text{Q}(n), \] où Q est un polynôme.
  1. Montrer l'équivalence suivante : \[ \left(v_n\right) \text{ est une suite géométrique} \Leftrightarrow \forall n\in\N,\ \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1). \] On suppose maintenant que $\text{P}(n)=an+b$, $a$ et $b$ étant deux réels non nuls.
  2. Trouver, en fonction de $\lambda$, $a$ et $b$, l'expression du polynôme Q.
  3. En déduire, en fonction de $\lambda$, $u_0$, $a$, $b$ et $n$, une expression de $v_n$, puis de $u_n$.
  4. Application : déterminer l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n-3n+7$.
    Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de $\left(u_n\right)$.
Corrigé
Exercice 8
Enoncé On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{3}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]
  1. Déterminer le réel $\lambda$ tel que la suite géométrique $\left(v_n\right)$définie par :\[\forall n\in\N,\: v_n=u_n+\lambda,\ \lambda\in\R \] soit géométrique.
  2. Calculer alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé
Exercice 9
Enoncé Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n^2}$.
Corrigé
Exercice 10
Enoncé Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que : \[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l} u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\ v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n \end{array} \right.\] On pose alors pour tout entier naturel $n$ : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} a_n=u_n+v_n\\ b_n=4u_n-3v_n \end{array} \right. \]
  1. Montrer que $\left(a_n\right)$ est constante.
  2. Montrer que $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
  3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Démontrer que $\left(u_n\right)$ converge et donner sa limite.
Corrigé
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