Exercices de géométrie dans l'espace avec corrigé

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$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\coordEsp}[3]{\left(#1\mathpunct{};#2\mathpunct{};#3\right)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$

 

Pour s'entraîner…

  

Exercice 1
Enoncé Dans chacune des questions suivantes, déterminer une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$, passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vv{u}$.
  1. $A(0;2;-1)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
  2. $A(-3;1;5)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$
  3. $A(2;-3;4)$ et $\vv{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
Indication
Corrigé
 
Exercice 2 - Intersection de deux plans
Enoncé Pour chaque question, déterminer l'équation de l'intersection des plans $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$.
  1. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):3x-y+z=7 \\ (\mathcal{P}_2):-x+3y+2z=1\end{array} \right.$
  2. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):x+y+z=1 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y+z=4\end{array} \right.$
  3. $\left\lbrace\begin{array}{l} (\mathcal{P}_1):2x-2y+3z=4 \\ (\mathcal{P}_2):2x-3y-3z=2\end{array} \right.$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Droites confondues
Enoncé Soient $(\mathcal{D}_1)$ d'équation paramétrique : \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}t \\ y=-\frac{1}{4}+\frac{5}{4}t\\ z=t \end{array} \right.\;,t \in\R \] et $(\mathcal{D}_2)$ d'équation paramétrique : \[ \left\lbrace\begin{array}{l} x=\frac{9}{5}+\frac{6}{5}t \\ y=t\\ z=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}t \end{array} \right.\;, t~\in\R\;. \] Montrez que $(\mathcal{D}_1)$ et $(\mathcal{D}_2)$ sont confondues.
Indication On montre que les deux droites ont la même direction et qu'elles ont un point commun.
Corrigé
Exercice 4
Enoncé   Soit ABCDEFGH un cube comme représenté ci-dessous. On place les points I, J et K respectivement au milieu des côtés [DC], [GH] et [DH]. On fixe le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AD},\vv{AE}\right)$.
  1. Montrer que le vecteur $\vv{u}\begin{pmatrix}1 \\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (AEJI).
  2. En déduire une équation cartésienne du plan (AEJI).
  3. Calculer la distance du point K au plan (AEJI).
  4. En déduire le volume de la pyramide AEJIK.
  5. Donner une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$, perpendiculaire au plan (AEJI) et passant par K.\\ En déduire les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ avec le plan (AEJI).
Corrigé
Exercice 5
Enoncé Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ , on considère :
  • les points $A\coordEsp{1}{1}{1}$ et $B\coordEsp{3}{2}{0}$ ;
  • le plan $(\mathcal{P})$ passant par le point B et admettant le vecteur $\vv{AB}$ pour vecteur normal ;
  • le plan $(\mathcal{Q})$ d'équation : $x-y+2z+4=0$ ;
  • la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $A$ et de rayon $AB$.
  1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ est : $2x+y-z-8= 0$
  2. Déterminer une équation de la sphère $(\mathcal{S})$.
    1. Calculer la distance du point $A$ au plan $(\mathcal{Q})$.
      En déduire que le plan $(\mathcal{Q})$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S})$.
    2. Le plan $(\mathcal{P})$ est-il tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ ?
  3. On admet que le projeté orthogonal de$A$ sur le plan $(\mathcal{Q})$, noté $C$, a pour coordonnées $\coordEsp{0}{2}{-1}$.
    1. Prouver que les plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$ sont sécants.
    2. Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'intersection des plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{Q})$.
      Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathcal{D})$ est : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} x=t\\ y=12-5t\\ z=4-3t \end{array} \right., t \in \mathbb{R} \]
    3. Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $(\mathcal{D})$.
    4. On appelle $(\mathcal{R})$ le plan défini par le point $A$ et la droite $(\mathcal{D})$.
      L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
      « Tout point du plan $(\mathcal{R})$ est équidistant des points $B$ et $C$ ».
      Justifier votre réponse.
Corrigé
Exercice 6
Enoncé L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.
partie A : Restitution organisée de connaissances
On considère :
  • le point $A\coordEsp{\alpha}{\beta}{\gamma}$ ;
  • le plan $\mathscr{P}$ d'équation : $ax+by+cz+d=0$ ;
  • $\vv{n}$ un vecteur normal de $\mathscr{P}$ ;
  • $H$, le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
On suppose connues les propriétés du produit scalaire suivantes : \begin{equation} \vv{u}\cdot \vv{v}=\|{u}\times\|{v}\times\cos\left(\vv{u},\vv{v}\right) \end{equation} \begin{equation} \vv{u}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \textrm{ et } \vv{v}\begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix} \Rightarrow \vv{u}\cdot\vv{v}=xx'+yy'+zz' \end{equation}
  1. A l'aide de la formule $(1)$, exprimer $\left\vert \vv{AH}\cdot\vv{n}\right\vert$.
  2. A l'aide de la formule $(2)$, montrer que $\left\vert \vv{AH}\cdot\vv{n}\right\vert=\left\vert a\alpha+b\beta+c\gamma+d \right\vert$.
  3. En déduire que la distance du point A au plan $\mathscr{P}$ est donnée par la formule : \begin{equation} d\left(A;\mathscr{P}\right)=\frac{\left\vert a\alpha+b\beta+c\gamma+d \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{equation}
Partie B On considère les points $A\coordEsp{1}{2}{0}$, $B\coordEsp{4}{6}{3}$, $C\coordEsp{-\frac{9}{19}}{\frac{46}{19}}{\frac{6}{19}}$ et $D\coordEsp{\frac{1}{13}}{\frac{10}{13}}{\frac{83}{26}}$. On suppose que ces points ne sont ni alignés, ni coplanaires.
  1. Vérifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation : $-3y+4z+6=0$.
  2. Vérifier que le plan $(ABD)$ admet pour équation : $4x-3y+2=0$.
    1. Soit $\mathscr{P}$ l'ensemble des points équidistants des plans $(ABC)$ et $(ABD)$. Vérifier que $\mathscr{P}$ est la réunion de deux plans $\left(\mathscr{P}_1\right)$, d'équation $x-z-1=0$, et $\left(\mathscr{P}_2\right)$, d'équation $2x-3y+2z+4=0$.
    2. On note $\vv{n_i}$ un vecteur normal au plan $\left(\mathscr{P}_i\right)$ pour $i=1$ et $i=2$. Le plan bissecteur intérieur issu de $\vv{AB}$ est le plan $\left(\mathscr{P}_i\right)$ tel que $\vv{n_i}\cdot\vv{AC}$ et $\vv{n_i}\cdot\vv{AD}$ sont de signes contraires. Montrer que $\left(\mathscr{P}_2\right)$ est ce plan.

    On admet que $(DCB)$ admet pour équation $-2x+y+2z-4=0$ et que $(DCA)$ admet pour équation $x+2y+2z-5=0$.
  3. Montrer que le plan bissecteur intérieur issu de $\vv{CD}$ a pour équation $-x+3y+4z-9=0$. On nommera ce plan $\left(\mathscr{P}_3\right)$.
  4. Montrer que $\left(\mathscr{P}_2\right)$ et $\left(\mathscr{P}_3\right)$ se coupent suivant la droite $\mathscr{D}$ d'équation : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} x=5-6t\\ y=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}t\\ z=t \end{array} \right., t \in \R \]
    Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.
  5. Soit $\mathscr{E}$ l'ensemble des points $M$ de $\mathscr{D}$ tels que $\left(d(M;(ABC)\right)^2=\left(d(M;(DCB)\right)^2$.
    1. Montrer que $\mathscr{E}$ est composé de deux points dont on précisera les coordonnées.
    2. Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre $S\coordEsp{\dfrac{79}{143}}{\dfrac{314}{143}}{\dfrac{106}{143}}$ et de rayon $\dfrac{68}{143}$.
      Montrer que $\mathscr{S}$ est la sphère inscrite dans le tétraèdre $ABCD$, c'est-à-dire qu'elle est tangente à chacune des faces du tétraèdre.
Corrigé
Exercice 7
Enoncé Soit $$\Delta : \left\lbrace \begin{array}{l} x=2t-1\\ y=t+6\\ z=3t+3 \end{array} \right., t \in \R $$ Soit $M\coordEsp{0}{1}{2}$.
Calculer la distance entre le point et la droite.
Indication
Corrigé
Exercice 8 Distance d’un point à un plan
Enoncé Soient $P:-x+2y+3z+2=0$ et $A\coordEsp{2}{0}{1}$. Cherchons la distance du point au plan.
Indication
Exercice 9 Sphère circoncrite d'un tétraèdre
Enoncé Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB]. On note Q le point défini par $ \vv{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3} \vv{\text{AD}}$.


On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ  c'est-à -dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J .
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vv{\text{AP}},~ \vv{\text{AQ}},~ \vv{\text{AE}}\right)$.
  1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB].
  3. Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ].
    1. Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants.
    2. Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1\\ y &=& t\\ z &=& 3t - 4 \end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\]
    3. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I.
    4. Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
Exercice 10 Distance d’un point à un plan
Enoncé L'espace est muni d'un repère orthonormal \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\). On prend 1 cm comme unité.
Partie A — Restitution organisée de connaissances
Question 1
Soit \(D\) le point de coordonnées \((x_D, y_D, z_D)\) et \(P\) le plan d'équation \(a x + b y + c z + d = 0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
Démontrer que la distance du point \(D\) au plan \(P\) est donnée par : \(d (D,P) = \frac{|ax_D+by_D+cz_D+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Question 2
Partie B
On considère les points \(A\) de coordonnées \((3 ; - 2 ; 2)\), \(B\) de coordonnées \((6 ; - 2 ; - 1)\), \(C\) de coordonnées \((6 ; 1 ; 5)\) et \(D\) de coordonnées \((4 ; 0 ; - 1)\).
Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle. En déduire l'aire du triangle \(ABC\).
Question 3
Vérifier que le vecteur \(\overrightarrow{n}\) de coordonnées \((1 ; -2 ; 1)\) est normal au plan \((ABC)\). Déterminer une équation du plan \((ABC)\).
Question 4
Calculer la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). Déterminer le volume du tétraèdre \(ABCD\).
Question 5
Partie C
Soit \(Q\) le plan d'équation \(x - 2 y + z - 5 = 0\).
Déterminer la position relative des deux plans \(Q\) et \((ABC)\).
Question 6
\(Q\) coupe les droites \((DA)\), \((DB)\) et \((DC)\) respectivement en \(E\), \(F\) et \(G\).
Déterminer les coordonnées de \(E\) et montrer que \(E\) appartient au segment \([DA]\).
Question 7
Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d'initiative,même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD.
Corrigé
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