Nombres complexes : des exercices avec corrigé ; série 1

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe et donner sa forme algébrique.
  1. $z = (3+\ic)(-13 – 2\ic)$
    $\quad$
  2. $z=\ic(1-\ic)^3$
    $\quad$
  3. $z = \dfrac{2 – 3\ic}{8 + 5\ic}$
    $\quad$
  4. $z=\dfrac{2}{\ic + 1}-\dfrac{3}{1-\ic}$
    $\quad$
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Mettre chaque nombre complexe sous sa forme algébrique.

  1. $z = \dfrac{2 + \ic}{3 + \ic}$
    $\quad$
  2. $z = \dfrac{(2+\ic)(1 – 4\ic)}{\ic + 1}$
    $\quad$
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Résoudre dans $\C$ chacune des équations suivantes.

  1. $2z^2 – 6z + 5=0$
    $\quad$
  2. $z^2+z+1=0$
    $\quad$
  3. $z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$
    $\quad$
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Soit $z = x + \ic y$, $x$ et $y$ étant deux réels tels que $(x;y) \ne (1;0)$.

On pose $Z = \dfrac{z + 2\ic}{z – 1}$.

Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que :

  1. $Z$ soit un nombre réel.
    $\quad$
  2. $Z$ soit un imaginaire pur.
    $\quad$
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

$A$, $B$ et $C$ sont les points d’affixes respectives :
$z_A = -1 + \ic, z_B = 2 + \ic, z_C = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\ic$.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$.
    $\quad$
  2. Calculer les affixes des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.
    $\quad$
  3. En déduire les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
    Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $C$?
    $\quad$
Corrigé
Exercice 6
Enoncé

Dans chaque cas, trouver l’ensemble des points dont l’affixe $z$ satisfait la condition indiquée.

  1. $|z – 3| = |z -1 + \ic|$
    $\quad$
  2. $|z +2 – \ic| = \sqrt{5}$
    $\quad$
  3. $|z + 3 – \ic| \le 2$
    $\quad$
Exercice 7
Enoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \Oij. On note $A$ le point d’affixe $\ic$. \`A tout point $M$ du plan, distinct de $A$, d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’ = \dfrac{\ic z}{z – \ic}$.

  1. a. Déterminer les points $M$ tels que $M = M’$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’affixe du point $B’$ associé au point $B$ d’affixe $1$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’affixe du point $C$ tel que l’affixe de son image $C’$ soit $2$.
  2. Étant donné un nombre complexe $z$, distinct de $\ic$, on pose $z = x + \ic y$ et $z’ = x’ + \ic y’$ le nombre nombre complexe associé, avec $x,x’,y,y’$ réels.
    a. Déterminer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$, distincts de $A$, pour lesquels $z’$ est réel.
    $\quad$
    c. Placer $A, B,B’,C,C’$ et représenter $\Gamma$ sur une figure (unité graphique $4$ cm).
    $\quad$
  3. Soit $z$ un nombre complexe différent de $\ic$.
    a. Montrer que l’on a $z’ – \ic = \dfrac{-1}{z – \ic}$.
    $\quad$
    b. On suppose que $M$, d’affixe $z$, appartient au cercle $\gamma$ de centre $A$ et de rayon $1$. Montrer que $M’$ appartient à $\gamma$.
    $\quad$
Corrigé
 

Exercice 8

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