Récurrence : des exercices avec corrigé

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…
I

Exercice 1

Enoncé

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :

$$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

Corrigé
Exercice 2
Enoncé $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Corrigé
Exercice 3
Enoncé Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a

$$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$$

Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n\in \mathbb N$.

Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb N$, $0 < u_n <2$.

Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$.

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.

Corrigé
Exercice 6
Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n – 1$ pour tout $n \in \mathbb N$.

Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n = 2^{n+1}+1$.

Exercice 7
Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$.

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$ on a $ 0 < u_n \le 1$.

Corrigé
 

Exercice 8

Enoncé

Soit $a\in \mathbb R^+$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$ on a $(1+a)^n \ge 1+na$

Corrigé
Exercice 9
Enoncé

Soit $f $ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ pour tout $x \ne 1$.

Démontrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ où $f^{(n)}$ désigne la dérivée $n^{\text{ième}}$ de $f$ et $n! = 1\times 2\times 3\times \ldots \times n$.

Corrigé
Exercice 10
Enoncé

Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $10^n -1$ est un multiple de $9$.

Corrigé
Exercice 11
Enoncé

On considère les propositions suivantes :

$P(n)$ : « $4^n-1$ est divisible par $3$ »

$Q(n)$ : « $4^n+1$ est divisible par $3$ »

  1. Montrer que les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.
  2. Montrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb N$.
  3. Que peut-on dire pour $Q(n)$?
Corrigé
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
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