Nombres complexes : des exercices avec corrigé ; série 2

 

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Quelle est la forme trigonométrique de : $z_1 = -1 + \ic \sqrt{3}$ et $z_2 = 3 – 3\ic$?

$\quad$

Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Déterminer le module et un argument de :

  1. $z = \dfrac{1 + \ic}{1 – \ic}$
    $\quad$
  2. $z= \dfrac{1 + \ic \sqrt{3}}{1 + \ic}$
    $\quad$
  3. $z = \dfrac{-\sqrt{2}}{1 + \ic}$
    $\quad$
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

Mettre chaque nombre complexe sous forme trigonométrique.

  1. $z = (-1 + \ic)^5$
    $\quad$
  2. $z = \left(\sqrt{3} – \ic\right)^4$
    $\quad$
  3. $z = \dfrac{\left(\sqrt{2} – 1\right)\ic}{1 – \ic}$
    $\quad$
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :

  1. $z = \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + \ic \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6$
    $\quad$
  2. arg$(\ic z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$ et $|z| = 2$
    $\quad$

$\quad$

Corrigé
Exercice 5
Enoncé

On donne les nombres complexes : $z_1 = \dfrac{\sqrt{6} – \ic \sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = 1 – \ic$.

  1. Donner une forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.
    $\quad$
  2. Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
    $\quad$
  3. En déduire la forme exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
    $\quad$

$\quad$

Indication
Corrigé
Exercice 6
Enoncé

On rappelle les formules trigonométriques :
$$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 \quad \text{et} \quad \sin(2a) = 2\sin a \cos a$$

On note $z_1 = 1 + \cos \alpha + \ic \sin \alpha$ avec $\alpha \in [0;\pi[$.

  1. Démontrer que $z_1 = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + \ic \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. En déduire le module et un argument de $z_1$.
    $\quad$
  3. Reprendre la question précédente lorsque $\alpha \in ]\pi;2\pi]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7
Enoncé

tiré de Centres étrangers juin 2014

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :
$$\begin{cases}
\begin{array}{lcl}
z_0 & = & 16 \\
z_{n+1} & = & \dfrac{1 + \ic}{2}z_n, \text{ pour tout entier naturel }n.
\end{array}
\end{cases}$$

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$, on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

  1. Calculer $z_1, z_2$ et $z_3$.
    $\quad$
  2. Placer les points $A_0, A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
  3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
    $\quad$

 

Corrigé
 

Exercice 8

Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16

 

 

 

 

 

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