Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 - Exercice 5

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Exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10000 le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20 % des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers. On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a \[u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\]

Partie A

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats.

 

Partie B

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers 100000 . On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$.

1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.