Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour. Au début de l'étude la colonie compte  5000  fourmis et au bout d'un jour elle compte  5100  fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$. On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10 % chaque jour. En d'autres termes. pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right).\]

  1. Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$.
  2. $u_{n+2}-u_{n+1}=0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)$
    Donc $u_{n+2}=u_{n+1}+0,9\left(u_{n+1}-u_n\right)=1,9u_{n+1}-0,9u_n$
    Ainsi
    $\begin{align*} u_2&=1,9u_1-0,9u_0 \\ &=1,9\times 5,1-0,9\times 5\\ &=5,19
    \end{align*}$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$. On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$.
    2. $\begin{align*}AV_n&=\begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}1,9u_{n+1}-0,9u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}\\ &=V_{n+1}
      \end{align*}$
    3. On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible. À l'aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$. En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
    4. A l’aide de la calculatrice on obtient $P^{-1}=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix}$
      $\quad$
      $\begin{align*}D&=P^{-1}AP \\ &=\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}-19+10&9\\19-9&-9\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}-9&10\\10&-9\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}-8,1+9&-10+10\\9-9&10-9\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}0,9&0\\0&1\end{pmatrix}
      \end{align*}$
      $\quad$
    5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = PD^nP^{-1}$. Pour tout entier naturel $n$, on admet que \[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1} - 9\\ - 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n - 9\end{pmatrix}.\]
    6. Initialisation : Si $n=0$ alors $PD^0P^{-1} = PP^{-1}=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$.
      $A^0=I_2$.
      La propriété est donc vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
      On sait que $D=P^{-1}AP$ donc $PDP^{-1}=A$.
      $\begin{align*} A^{n+1}&=A^n \times A \\ &=PD^nP^{-1} \times PDP^{-1} \\ &=PD^nDP^{-1} \\ &=PD^{n+1}P^{-1}
      \end{align*}$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
      $\quad$
    7. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 6 - 0,9^n$.
    8. On sait que $V_n=A^nV_0$
      Donc $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5,1\left(-10\times 0,9^{n+1}+10\right)+5\left(10\times 0,9^{n+1}-9\right) \\5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right)\end{pmatrix}$
      Par conséquent
      $\begin{align*} u_n&=5,1\left(-10\times 0,9^n+10\right)+5\left(10\times 0,9^n-9\right) \\ &=-51\times 0,9^n+51+50\times 0,9^n-45 \\ &=6-0,9^n
      \end{align*}$
      $\quad$
  4. Calculer la taille de la colonie au bout du 10e jour. On arrondira le résultat à une fourmi près.
  5. $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$.
    La colonie compte donc environ $5~651$ fourmis au bout du $10^{\e}$ jour.
    $\quad$
  6. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.
  7. $-1 <0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=6$.
    Au bout d’un grand nombre de jours, la colonie comptera $6~000$ fourmis.
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