Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

La société « Bonne Mamie » utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$.

1. 1. Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre $P(X \leqslant 125 - t)$ et $P(X \geqslant 125 + t)$.
   La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=125$.
   Par conséquent, pour tout nombre réel $t$ positif, on a :
   $P(X \leq 125-t)=P(X \geq 125+t)$
   $\quad$
   
   2. On sait que 2,3% des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer $P(121 \leqslant X \leqslant 129)$.
Par conséquent $P(X \geq 129)$ $= P(X \geq 125+4)$ $= P(X \leq 125-4)$ $= P(X \leq 121)$ $=0,023$.
Ainsi $P(121 \leq X \leq 129)$ $=1-\left(P(X \leq 121)+P(X \geq 129)\right)$ $=0,954$.
$\quad$
2. Déterminer une valeur arrondie à l'unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$.
On sait que $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0,68$.
Or $P(123 \leq X \leq 127)=0,68$
Par conséquent $125-\sigma \approx 123$ et $\sigma \approx 2$.
$\quad$
Remarque : On pouvait faire un raisonnement similaire avec $P(121 \leq X \leq 129) = 0,954$ en utilisant $P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 0,954$
$\quad$

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $\sigma = 2$ .

1. On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes.
   1. On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
   On veut calculer $P(120 \leq X \leq 130) \approx 0,987~6$ à $10^{-4}$ près.
   $\quad$
   
   2. On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$~grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
   On appelle $C$ l’événement “le pot de confiture est conforme” et $M$ l’événement “le pot de confiture a une masse de confiture inférieure à $130$ grammes”.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_M\left(\overline{C}\right)&=\dfrac{p\left(\overline{C}\cap M\right)}{p(M)} \\ &=\dfrac{P(X\leq 120)}{P( X \leq 130)}\\ &=\dfrac{0,5-P(120 \leq X \leq 125)}{0,5+P(125 \leq X \leq 130)} \\ &\approx 0,006~2
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un pot de confiture soit conforme est $0,988$. On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont conformes. Au seuil de 95 % peut-on rejeter l'hypothèse suivante : « La machine est bien réglée » ?
On note $n=900 \geq 30$, $p=0,988$ donc $np=889,2 \geq 5$ et $n(1-p)=10,8 \geq 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la masse de confiture dans un pot est :
$\begin{align*} I_{900}&=\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}};0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988\times 0,012}{900}}\right] \\ &\approx [0,980;0,996]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{871}{900} \approx 0,968 \notin I_{900}$.
On peut donc rejeter, au risque de $5\%$, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
$\quad$