Métropole—La Réunion STI2D & STL 6 septembre 2018 - Correction Exercice 4

Page 8 sur 8: Correction Exercice 4

Exercice 4 : 4 points


Probabilités

 

Les parties A et B sont indépendantes.


Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.

Partie A

 

  1. Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges. L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$. Un passager adulte est choisi au hasard.
    1. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.
    2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

      La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm est $P(48 \leqslant L \leqslant 62) \approx 0,838$.
    3. Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.
    4.  

      2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
      La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm est $P(L > 67) \approx 0,008$.
  2. Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à $0,977$. On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
    1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
    2. Les paramètres de cette loi sont $n=334$ et $p=0,977$.
    3. Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
    4. L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $np=334\times 0,977 \approx 326$ donc, en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
    5. Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.
    6. Dans un tel avion, la probabilité qu'au moins 330 personnes puissent s'asseoir confortablement est de $0,051$.

 

Partie B


Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à $0,9$. La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles. $$ \begin{array}{ |c|c|c|}\hline &A &B\\ \hline 1 &\text{ Nombre } n \text{ de places vendues} & p_n \\ \hline 2 & 353 &0,0006 \\ \hline 3 & 354 &0,0012 \\ \hline 4 & 355 &0,0023 \\ \hline 5 &356 & \\ \hline 6 &357 &0,0070 \\ \hline 7 & 358 &0,0115 \\ \hline 8 & 359 &0,0183 \\ \hline 9 & 360 &0,0280 \\ \hline 10 & 361 &0,0414 \\ \hline 11 & 362 &0,0594 \\ \hline 12 & 363 &0,0826 \\ \hline 13 & 364 &0,1116 \\ \hline 14 & 365 &0,1468 \\ \hline 15 & 366 &0,1883 \\ \hline \end{array} $$

  1. Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
  2. On cherche une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau. Dans ce cas, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=356$ et $p=0,9$.
    On cherche $p_{356}=P(Y >334)$; on trouve à la calculatrice $0,0041$. $P(Y> 334)=1-P(Y\leq 334)$.

     

    2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    Puis $p_{356}=P(Y >334)\approx 1-0.9959\approx 0.0041$
  3. Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ % ?
  4. On cherche donc $n$ pour que $p_n <0,025$; d'après le tableau, on peut prendre $n\leqslant 359$. Pour que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$ %, la compagnie doit prendre au maximum $359$ passagers.
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