Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018

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Exercice 1 3 points

Equations différentielles

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, $\ldots$), on utilise des bétons de compositions différentes. Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour. On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
2. À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle. Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]
3. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$ MPa. Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?