Métropole—La Réunion STI2D & STL 6 septembre 2018 - Exercice 2

Page 3 sur 8: Exercice 2

Exercice 2 6 points

Suites

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.
À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin. Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$ microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Concentration de benzène en }\mu g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~5000[& \geqslant 5000 \\ \hline \text{Qualité de l'eau }&\text{Excellente} &\text{Bonne} &\text{Moyenne }&\text{Médiocre} &\text{Mauvaise}\\ \hline \end{array} $$ La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$ euros par jour. La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

Partie A

Élimination du benzène de façon naturelle
Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7 %$ par jour, notamment par évaporation.

1. 1. Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
   2. Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
   4. Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. 1. On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes. $$ \begin{array}{ |l|l|l|} \hline u \gets 68 && u \gets 68 \\ n \gets 0 && n \gets 0 \\ \text{ Tant que }u \geqslant 0,5 &&\text{Tant que }u < 0,5 \\ u \gets 0,93u && u \gets 0,93u \\ n \gets n+1 && n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que}&&\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} $$
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$. Indiquer la démarche utilisée.
   3. Interpréter le résultat précédent.
   4. En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.

 

Partie B

Élimination du benzène par traitement au charbon actif
Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de 20000 euros. Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre. Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur $[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle : \[(E)\qquad y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

1. Résoudre dans l'intervalle $[0~; ~+ \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
2. Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\text{e}^{-0,25t}$.
3. Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?

 

Partie C

Comparaison des deux solutions étudiées
Laquelle des deux solutions envisagées est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique ?