Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

 

  1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
    Ex1 tab1
  2. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

 

Partie B


Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.
Ex1 courbe

  1. Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine.

On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$.

  1. Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$.
  2. Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $]0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $]0~;~1] $ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
    Ex1 tab2
      Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$.
  3. On considère l'algorithme présenté ci-dessous. $$\begin{array}{|lc|}\hline \text{VARIABLES } : &A, B \text{ et } C \text{ sont des nombres };\\ & p \text{ est un entier naturel }.\\ \text{ INITIALISATION } : & \text{ Demander la valeur de } p\\ & A \text{ prend la valeur } 0\\ &B \text{ prend la valeur } 1\\ \text{ TRAITEMENT } : & \text{Tant que } B - A > 10^{-p}\\ &\hspace{0.25cm} \begin{array}{|l} C \text{ prend la valeur } (A + B)/2\\ \text{Si } \mathcal{H}(C) > 0,5\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ Alors } A \text{ prend la valeur de }C\\ \text{ Sinon }B \text{ prend la valeur de } C\\ \end{array}\\ \text{ Fin de la boucle Si } \\ \end{array}\\ &\text{ Fin de la boucle Tant que }\\ \text{SORTIE } : &\text{Afficher } A \text{ et } B.\\ \hline \end{array} $$ Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
  4. Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.
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