Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017 - Correction Exercice 4
Correction de l'exercice 4 5 points
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$$ On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: $$\begin{array} {|c|c|c|c| }\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &u_n &u_n \\ \hline 2 &n &(\text{ en valeurs exactes })&(\text{ en valeurs approchées })\\ \hline 3 & 0 &0 &0\\ \hline 4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 & 2 &2/3 & 0,666666667 \\ \hline 6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 & 5 &5/6 & 0,833333333 \\ \hline 9 & 6 &6/7 & 0,857142857 \\ \hline 10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11& 8 &8/9 & 0,888888889 \\ \hline 12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline 13& 10 &10/11 & 0,909090909 \\ \hline \end{array}$$ Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{0}{0+1}=0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
&=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{n+2}
\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}$
D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
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