Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017 - Exercice 5

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5 points

Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
   2. Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
   3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2. 1. Déterminer la nature du triangle ABC.
   2. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$.
3. 1. Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
   2. La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H.
4. Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
   On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\]