Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017 - Correction Exercice 2

Page 4 sur 10: Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.

1. La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près.
La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
On veut calculer $P_{(T\geq 3)}(T\geq 2+3)=P(T\geq 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
Or $P(T \geq 2)=\text{e}^{-0,25 \times 2}=\text{e}^{-0,5}\approx 0,61$
L’affirmation est donc fausse.

2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.
$z^3-3z^2+3z=0\iff z\left(z^2-3z+3\right)=0 \iff z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
$\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2= \overline{z_1}=\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
$OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
$OB=\left|z_B\right|=\left| \overline{z_A}\right|=\sqrt{3}$
$AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
L’affirmation est donc vraie.