Baccalauréat S Asie 23 juin 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats

 

1. On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
   1. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
   $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
   Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\]
   Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
   On a donc :
   $9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
   Par différence on obtient :
   $9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
   $\quad$
   
   3. En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.\]
   $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
   $d-3=26k$ et $m-1=9k$
   Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
   $\quad$
   Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
   $9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
   $\quad$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
   $\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \mathbb Z$.
   $\quad$
2. 1. Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
   Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
   D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
   $\quad$
   
   2. En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \mathbb Z$, sont premiers avec $26$.
   Soit $k$ un entier relatif.
   $\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
   &=26 \times 9k + 27-28 \\
   &=26 \times 9k-1 \\
   &=26k’-1
   \end{align*}$
   Avec $k’=9k$.
   D’après la question précédente, $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
   $\quad$

 

Partie B : cryptage et décryptage

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array} $$

Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres)	Exemple : avec le mot MATH
1 . On regroupe les lettres par paires.	$\text{MA }\quad \text{TH}$
2.On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne.	$C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$ $C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$
3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$	$AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$ $AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}$
4.On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26.	$108 = 4\times 26 + 4$ $84= 3 \times 26 + 6$ On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$
5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté.	EGRY

1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
$AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
Donc ESPION est codé par EELZWH.
$\quad$

2. Méthode de décryptage

   
   

   Notation :

   lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » $\equiv$ « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\] Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]
   1. Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
   Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
   On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
   Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Décrypter le mot : XQGY.
   On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
   Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
   XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
   Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
   GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
   Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
   $\quad$
   Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
   $\quad$