Baccalauréat S Asie 23 juin 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A: premier modèle -- avec une suite

On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:
$u_0= 1000 $ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.

1. 1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
   $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
   Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
   $100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
   Donc la masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
   $\quad$
   
   2. L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
   On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
   La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
   Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
   $\quad$
   
   3. On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. $$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables} & u \text{ et } n \text{ sont des nombres }\\ \hline & \\ & u \text{ prend la valeur } 1000 \\ & n \text{ prend la valeur } 0\\ \text{Traitement } \hspace{0.5cm} & \text{Tant que ................ faire }\\ & \hspace{1cm} u \text{  prend la valeur .......... }\hspace{1cm}\\ & \hspace{1cm} n \text{ prend la valeur } n+1 \\ & \text{Fin Tant que }\\ & \\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher ..........}\\ \hline \end{array} $$
   Variables :
   $\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1000 $.
   Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
   $\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\
   &\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\
   &\geqslant 1~100 \\
   &\geqslant 1~000
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\
   &=0,2u_n-100 \\
   &\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\
   &\geqslant 100 \\
   & \geqslant 0
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
3. On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
   
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
   &=1,2u_n-100-500 \\
   &=1,2u_n-600 \\
   &=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\
   &=1,2\left(u_n-500\right) \\
   &=1,2v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
   $\quad$
   
   2. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
   $v_n=500\times 1,2^n$
   et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
   $\quad$
   
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
   $\quad$

Partie B: second modèle -- avec une fonction

On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\texttt{[} 0;+\infty\texttt{[}$ par: \[ f(t)= \dfrac{50}{1+49 \text{e}^{-0,2 t}}\] où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

1. 1. Calculer $f(0)$.
   $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t) < 50$.
   Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
   $\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-50 \\
   &=50\left(\dfrac{1}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-1\right) \\
   &=50\times\dfrac{1-1-49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}} \\
   &=\dfrac{-50\times 49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}}
   \end{align*}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
   $\quad$
   
   3. Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
   Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
   Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ la fonction $t \to 1+49\text{e}^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer