Baccalauréat S Asie 23 juin 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

 

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[f_a(x)=a \text{e}^{ax} + a.\] On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1: \[I(a)=\displaystyle\int_0^1 f(x) \,\text{d} x.\]

1. On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_(0)\mathrm{d}x=0$.
$\quad$
2. On pose dans cette question $a=1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb R$ par: \[f_1(x)=\text{e}^{x} +1.\]
   1. Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
   $a=1$ et $f_1(x)=\text{e}^x+1$
   On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
   
   
   2. Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
   $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\text{e}^x+1\right)\mathrm{d}x \\
   &=\big[\text{e}^x+x\big]_0^1 \\
   &=\text{e}^1+1-1 \\
   &=\text{e} \\
   &\approx 2,7
   \end{align*}$
   $\quad$
4. Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\text{e}^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\text{e}^a+a-1$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\text{e}^x+x-1$
$g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes (la fonction exponentielle et une fonction affine).
$g(0)=1-1=0<2$
$g(1)=\text{e}>2$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,80$.