Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête égale à 1.
L'espace est muni du repère orthonormé $(D~;\vec{DC},\vec{DA},\vec{DH})$.
Dans ce repère, on a:
$D(0~;~0~;~0)$, $C(1~;~0~;~0)$, $A(0~;~1~;~0)$,
$H(0~;~0~;~1)$ et $E(0~;~1~;~1)$.
Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
 
Soit $\mathcal{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.
On admet que la section du cube par le plan $\mathcal{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

1. 1. Montrer que le vecteur $\vec{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
   $\vec{DF}(1;1;1)$
   $\vec{BG}(0;-1;1)$ et $\vec{BE}(-1;0;1)$ ne sont clairement pas colinéaires.
   $\vec{DF}.\vec{BG}=0-1+1=0$ et $\vec{DF}.\vec{BE}=-1+0+1=0$
   Ainsi le vecteur $\vec{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGE)$.
   Il est par conséquent normal au plan $(BGE)$.
   $\quad$
   
   2. En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
   Le plan $\mathscr{P}$ est parallèle au plan $(BGE)$.
   $\vec{DF}$ est donc également normal à $(BGE)$.
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est de la forme $$x+y+z+d=0$$
   Le point $I(0,5;1;0)$ appartient à ce plan donc :
   $$0,5+1+d=0 \iff d=-1,5$$
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $x+y+z-1,5=0$.
   $\quad$
2. Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
Le point $N$ appartient à $[AE]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;1;z_N\right)$.
Il appartient au plan $\mathscr{P}$ donc $0+1+z_N-1,5=0 \iff z_N=0,5$
Ainsi $N$ est le milieu de $[AE]$.
$\quad$
3. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
   On a $\vec{HB}(-1;-1;1)$
   Une représentation paramétrique de la droite $(HB)$ est donc $\begin{cases} x=-t\\y=-t \quad t\in \mathbb R \\z=1+t \end{cases}$.
   
   2. En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathcal{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
   $\vec{HB}.\vec{DF}=-1-1+1=-1 \neq 0$
   Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(HB)$ sont donc sécants.
   On injecte les équations de $(HB)$ dans l’équation de $\mathscr{P}$.
   $-t-t+1+t-1,5=0 \iff -t-0,5=0 \iff t=-0,5$
   Donc $T(0,5;0,5;0,5)$.
   $\quad$
4. Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
Calculons dans un premier temps l’aire du triangle $BGF$ rectangle en $F$.
$\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$
Donc le volume du tétraèdre $FBGE$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$