Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-2\right\vert=1$.

  1. Justifier que $\mathcal{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
  2. On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $A$ le point d’affixe $2$.
    $|z-2|=1 \iff AM=1$
    Donc $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.
    $\quad$
  3. Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=ax$.
    Déterminer le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.
  4. Si un point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ alors ses coordonnées sont $(x;ax)$ et donc son affixe est $z=x+ax\text{i}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} |x+ax \text{i} -2|=1 &\iff \left|(x-2)+ax \text{i}\right| = 1 \\
    &\iff (x-2)^2+(ax)^2 = 1 \\
    &\iff x^2-4x+4+a^2x^2=1\\
    &\iff \left(a^2+1\right)x^2-4x+3=0
    \end{align*}$
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta &=16-12\left(1+a^2\right) \\
    &=4\left(4-3-3a^2\right) \\
    &=4\left(1-3a^2\right)
    \end{align*}$
    Or $1-3a^2=0 \iff a^2=\dfrac{1}{3} \iff a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    Par conséquent :
    • si $a\in \left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[$ alors $\Delta >0$ et le cercle et la droite ont deux points en commun;
    • si $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou si $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ alors $\Delta =0$ et la droite et le cercle n’ont qu’un point en commun;
    • si $x\in \left]-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty\right[$ alors $\Delta <0$ et la droite et le cercle n’ont aucun point en commun.

 

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Exercice 3
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