Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

1. 1. Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
   $\dfrac{438}{24} = 18,25$ et $\dfrac{438}{45} \approx 9,7$.
   Il ne peut donc pas avoir passé plus de $18$ nuits dans l’hébergement A et plus de $9$ nuits dans l’hébergement B.
   $~$
   Par conséquent $x \le 18$ et $y \le 9$.
   
   2. Recopier et complèter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples ($x$ ; $y$) possibles. $$\begin{array}{|l|l|}\hline \text{EntréeŽ :} & x \text{ et } y \text{ sont des nombres}\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } x \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (1)\\& \text{ Pour } y \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (2)\\ & \text{ Si } \ldots (3)\\ & \text{Afficher } x \text{ et } y\\ & \text{Fin Si }\\ & \text{ Fin Pour}\\ &\text{ Fin Pour}\\ \text{Fin traitement}&\\\hline \end{array}$$
   Entrée :
   $\quad$ $x$ et $y$ sont deux nombres
   Traitement :
   $\quad$ Pour $x$ variant de $0$ à $18$
   $\qquad$ Pour $y$ variant de $0$ à $9$
   $\qquad \quad$ Si $24x+45y=438$
   $\qquad \qquad$ Afficher $x$ et $y$
   $\qquad \quad$ Fin Si
   $\qquad $ Fin Pour
   $\quad$ Fin Pour
   Fin traitement
   
2. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
Le coût total de la réservation est:
$$24x+45y = 3\times 8x+3\times 15y = 3(8x+15y)$$
C’est donc un multiple de $3$.

3. 1. Justifier que l'équation $8x + 15y = 1$ admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.
   $8$ et $15$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $8x+15y=1$ admet donc au moins un couple d’entiers relatifs solution.
   
   2. Déterminer une telle solution.
   $8\times 2 + 15 \times (-1) = 16 -15 = 1$
   Le couple $(2;-1)$ est donc solution de l’équation $8x+15y=146$.
   
   3. Résoudre l'équation (E) : $8x + 15y = 146$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.
   Le couple $(292;-146)$ est donc solution de l’équation $8x+15y=146$.
   Soit $(x;y)$ un autre couple solution.
   Par différence on obtient :
   $$8(x-292)+15(y+146) = 0 \Leftrightarrow 8(x-292)=15(-y-146)$$
   $8$ et $15$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que :
   $ x-292 = 15k $ et $-y-146 = 8k$
   Soit$ x = 292+15k$ et $y=-146 – 8k$
   $~$
   Réciproquement : soient $k \in \mathbb{Z}$ et $x=292+15k$ et $y=-146-8k$
   Alors :
   $$ \begin{array}\\ 8x+15y &=8(292+15k)+15(-146-8k) \\ &=2336 + 120k – 2190 – 120k \\ &=146 \end{array}$$
   Les solutions de cette équation sont donc les couples $(292+15k;-146-8k)$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
4. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
   Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.
   Calculer ces nombres.
$438 = 3 \times 146$.
Notre problème de départ revient à trouver les couples $(x;y)$ tels que $8x+15y=146$.
On sait que $x \le 13$ par conséquent :
$$\begin{array}\\ 0 \le 292 + 15k \le 13 & \Leftrightarrow -292 \le 15k \le -279 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-292}{15} \le k \le \dfrac{-279}{15} \\ & \Leftrightarrow k = -19\\ \end{array}$$ Cela signifie donc que $x= 7$ et donc $y = \dfrac{146-8\times 7}{15} = 6$
$~$
Le randonneur a donc passé $7$ nuits dans l’hébergement A et $6$ dans l’hébergement B.