Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par \[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)$.

Partie A

1. Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ par \[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\] Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de $g(x)$.
2. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
3. On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que, pour tout réel $x$, \[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.
6. 1. Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
   2. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.

Partie B

1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que $H$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x\text{e}^{- x}$.
2. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.