Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Exercice 3 4 points


QCM Géométrie dans l'espace

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ .
On considère les points A(1;2;5), B$(-1;6;4)$, C$(7;- 10;8)$ et D$(-1;3;4)$.
  1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.
  2. Proposition 1 : FAUX

    $\vec{AB}(-2;4;-1)$ et $\vec{AC}(6;-12;3) = -3\vec{AB}$
    Les $2$ vecteurs sont colinéaires, ils ne définissent donc pas de plan.

  3. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
    Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x - 2z + 9 = 0$.
  4. Proposition 2 : VRAI

    Regardons si les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation donnée :
    Pour $A$ : $ 1 – 10 + 9 = 0$ $\surd$
    Pour $B$ : $-1 -8 + 9 = 0$ $\surd$
    Pour $D$ : $-1 – 8 + 9 = 0$ $\surd$
    L’équation donnée est donc bien une équation de $(ABD)$.

  5. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \dfrac{3}{2}t - 5\\ y &=& - 3t + 14\\ z &=&- \dfrac{3}{2}t + 2 \end{array}\right. \quad t \in\mathbb{R}\]
  6. Proposition 3 : FAUX

    Si $t=4$ alors $x=1$, $y=2$ et $z=-4$. Par conséquent le point $A$ n’appartient pas à la droite dont la représentation paramétrique est fournie.

  7. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 5z + 7 = 0$ et $\mathcal{P}'$ le plan d'équation cartésienne $- 3x - y + z + 5 = 0$.
    Proposition 4 : Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles.
  8. Proposition 4 : FAUX

    Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;5)$.
    Un vecteur normal à $\mathscr{P}’$ est $\vec{n}(-3;-1;1)$.
    C’est $2$ vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (en revanche ils sont orthogonaux!)

 

 

Exercice 4
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