Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Exercice 3 4 points

QCM Géométrie dans l'espace

1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.

Proposition 1 : FAUX

$\vec{AB}(-2;4;-1)$ et $\vec{AC}(6;-12;3) = -3\vec{AB}$
Les $2$ vecteurs sont colinéaires, ils ne définissent donc pas de plan.

2. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
   Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (ABD) est $x - 2z + 9 = 0$.

Proposition 2 : VRAI

Regardons si les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation donnée :
Pour $A$ : $1 – 10 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $B$ : $-1 -8 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $D$ : $-1 – 8 + 9 = 0$ $\surd$
L’équation donnée est donc bien une équation de $(ABD)$.

3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est $$\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \dfrac{3}{2}t - 5\\ y &=& - 3t + 14\\ z &=&- \dfrac{3}{2}t + 2 \end{array}\right. \quad t \in\mathbb{R}$$

Proposition 3 : FAUX

Si $t=4$ alors $x=1$, $y=2$ et $z=-4$. Par conséquent le point $A$ n’appartient pas à la droite dont la représentation paramétrique est fournie.

4. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 5z + 7 = 0$ et $\mathcal{P}'$ le plan d'équation cartésienne $- 3x - y + z + 5 = 0$.
   Proposition 4 : Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles.

Proposition 4 : FAUX

Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;5)$.
Un vecteur normal à $\mathscr{P}’$ est $\vec{n}(-3;-1;1)$.
C’est $2$ vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (en revanche ils sont orthogonaux!)