Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (6 points)
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels par f(x)=x+1+xex.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i,→j).
Partie A
- Soit g la fonction définie et dérivable sur l'ensemble R par g(x)=1−x+ex. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de g(x). g′(x)=−1+ex
- Déterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en +∞. limn→−∞x+1=−∞ limn→−∞1ex=+∞ donc limn→−∞xex=−∞
- On appelle f′ la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel x, f′(x)=e−xg(x). f′(x)=1+ex–xexe2x=1+1−xex=ex+1–xex=e−xg(x)
- En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R. D’après le tableau de variations de la fonction g on constate que g(x)>0 pour tout x. On sait de plus que la fonction exponentielle est strictement positive.
- Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution réelle α sur R. Démontrer que −1<α<0. La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur R.
-
- Démontrer que la droite T d'équation y=2x+1 est tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. Une équation de la tangente est de la forme y=f′(a)(x−a)+f(a).
- Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T. Pour étudier la position relative de la courbe C et de T on étudie le signe de :
f′(0)=2 et f(0)=1. Donc la tangente en 0 à C a pour équation y=2x+1
f(x)−(2x+1)=x+1+xex−2x−1=−x+xex=x−ex+1ex=−xg′(x)ex≤0
La droite T est donc toujours au-dessus de la courbe C.
Etudions le signe de g′(x)
g′(x)>0⇔−1+ex>0⇔ex>1⇔x>0
Par conséquent :
limn→−∞f(x)=−∞
limn→+∞x+1=+∞ limn→+∞exx=+∞ donc limn→+∞xex=0
Par conséquent :
limn→+∞f(x)=+∞
Par conséquent :
∀x∈R,f′(x)>0
De plus limn→−∞f(x)=−∞ et limn→+∞f(x)=+∞
0∈]−∞;+∞[.
D'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), l'équation f(x)=0 possède donc une unique solution sur R.
f(−1)=−e−1<0 et f(0)=1>0 donc −1α<0.
Partie B
- Soit H la fonction définie et dérivable sur R par H(x)=(−x−1)e−x. Démontrer que H est une primitive sur R de la fonction h définie par h(x)=xe−x. H′(x)=−e−x−(−x−1)e−x =xe−x=h(x)
- On note D le domaine délimité par la courbe C, la droite T et les droites d'équation x=1 et x=3. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine D. L'aire cherchée est :
Donc H est une primitive de h sur R.
A=∫31(f(x)−(2x+1))dx=∫31(−x+h(x))dx=[−x22+H(x)]31=92–4e−3–12–(−2)e−1=4−4e−3+2e−1 u.a
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