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Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels par f(x)=x+1+xex.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i,j).

Partie A

  1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l'ensemble R par g(x)=1x+ex. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de g(x).
  2. g(x)=1+ex
    Etudions le signe de g(x)
    g(x)>01+ex>0ex>1x>0
  3. Déterminer la limite de f en puis la limite de f en +.
  4. limnx+1= limn1ex=+ donc limnxex=
    Par conséquent :
    limnf(x)=
    limn+x+1=+ limn+exx=+ donc limn+xex=0
    Par conséquent :
    limn+f(x)=+
  5. On appelle f la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel x, f(x)=exg(x).
  6. f(x)=1+exxexe2x=1+1xex=ex+1xex=exg(x)
  7. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R.
  8. D’après le tableau de variations de la fonction g on constate que g(x)>0 pour tout x. On sait de plus que la fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent :
    xR,f(x)>0
  9. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution réelle α sur R. Démontrer que 1<α<0.
  10. La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur R.
    De plus limnf(x)= et limn+f(x)=+
    0];+[.
    D'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), l'équation f(x)=0 possède donc une unique solution sur R.
     
    f(1)=e1<0 et f(0)=1>0 donc 1α<0.
    1. Démontrer que la droite T d'équation y=2x+1 est tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
    2. Une équation de la tangente est de la forme y=f(a)(xa)+f(a).
      f(0)=2 et f(0)=1. Donc la tangente en 0 à C a pour équation y=2x+1
    3. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T.
    4. Pour étudier la position relative de la courbe C et de T on étudie le signe de :
      f(x)(2x+1)=x+1+xex2x1=x+xex=xex+1ex=xg(x)ex0
      La droite T est donc toujours au-dessus de la courbe C.

Partie B

  1. Soit H la fonction définie et dérivable sur R par H(x)=(x1)ex. Démontrer que H est une primitive sur R de la fonction h définie par h(x)=xex.
  2. H(x)=ex(x1)ex =xex=h(x)
    Donc H est une primitive de h sur R.
  3. On note D le domaine délimité par la courbe C, la droite T et les droites d'équation x=1 et x=3. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine D.
  4. L'aire cherchée est :
    A=31(f(x)(2x+1))dx=31(x+h(x))dx=[x22+H(x)]31=924e312(2)e1=44e3+2e1 u.a

 

 

Exercice 3
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