Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Exercice 4

Page 7 sur 9: Exercice 4

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB]. On note Q le point défini par $\vec{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vec{\text{AD}}$.
Nouvelle-Caledonie mars 2014-pave

On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J). L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A} ; \vec{\text{AP}}, \vec{\text{AQ}}, \vec{\text{AE}}\right)$.
  1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB].
  3. Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$.
    Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ].
    1. Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants.
    2. Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1\\ y &=& t\\ z &=& 3t - 4 \end{array}\right.  \text{ où }  t  \text{décrit l'ensemble des nombres réels }  \mathbb{R}.\]
    3. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I.
    4. Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.

 

Correction de l'Exercice 4
Page
  • Vues: 20413

Rechercher