Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Exercice 4
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Exercice 4 5 points
On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J). L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A} ; \vec{\text{AP}}, \vec{\text{AQ}}, \vec{\text{AE}}\right)$.
- Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
- Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\left(P_{1}\right)$ du segment [AB].
- Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$.
Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. - Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants.
- Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1\\ y &=& t\\ z &=& 3t - 4 \end{array}\right. \text{ où } t \text{décrit l'ensemble des nombres réels } \mathbb{R}.\]
- Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I.
- Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
Correction de l'Exercice 4
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