Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty [$ par
\[f(x) = x\ln (x).\]
  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
  2. On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0 ; + \infty [$. Montrer que $f'(x) = \ln(x) + 1$.
  3. Déterminer les variations de $f$ sur $]0 ; + \infty [$.

Partie B
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après).
Nouvelle-Caledonie mars 2014-rectangles
  Algorithme :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables}&\\ & k \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels }\\ & U, V \text{ sont des nombres réels }\\ \text{Initialisation}&\\ & U \text{ prend la valeur 0}\\ & V \text{ prend la valeur 0}\\ & n \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement}&\\ & \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)\\ & \text{ Affecter à } V \text{ la valeur } V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)\\ & \text{ Fin pour }\\ \text{Affichage} &\\ & \text{ Afficher } U \\ &\text{ Afficher} V\\ \hline \end{array}$$
    1. Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ?
    2. Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ?
    3. En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
  1. Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :
    \[\begin{array}{l c l} U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right] \end{array}.\] On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant V_{n}$.
    1. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$.
    2. Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
Partie C
Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0 ; + \infty[$ par
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]
  1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0 ; + \infty[$.
  2. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.

 

Correction de l'Exercice 3
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