Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 - Correction de l'Exercice 3

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Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty [$ par
\[f(x) = x\ln (x).\]
  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
  2. D'après le cours, on sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln(x)=0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=0$. $$\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to +\infty}x = +\infty\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \end{array} \right\rbrace \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\ln(x) = +\infty $$(par produit) donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$.
  3. On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0 ; + \infty [$. Montrer que $f'(x) = \ln(x) + 1$.
  4. La fonction $f$ est dérivable sur $]0\:; +\infty[$ comme produit de fonctions dérivables: $f'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)+1$.
  5. % Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$. On étudie le signe de $f'(x)$ sur $]0\:; +\infty[$: $\ln(x)+1>0 \iff \ln(x) >-1 \iff x > \text{e}^{-1}$ Donc:
    • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\:; \text{e}^{-1}]$;
    • la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\text{e}^{-1}\:; +\infty[$.
  6. Déterminer les variations de $f$ sur $]0 ; + \infty [$.

Partie B
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal. Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après).
Nouvelle-Caledonie mars 2014-rectangles
  Algorithme :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables}&\\ & k \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels }\\ & U, V \text{ sont des nombres réels }\\ \text{Initialisation}&\\ & U \text{ prend la valeur 0}\\ & V \text{ prend la valeur 0}\\ & n \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement}&\\ & \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)\\ & \text{ Affecter à } V \text{ la valeur } V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)\\ & \text{ Fin pour }\\ \text{Affichage} &\\ & \text{ Afficher } U \\ &\text{ Afficher} V\\ \hline \end{array}$$
    1. Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ?
    2. Sur la figure ci-dessus, le nombre $U$ représente la somme des aires des rectangles inférieurs (en rouge); cette somme minore l'aire sous la courbe. Le nombre $V$ représente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l'aire sous la courbe.
    3. Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ?
    4. On fait tourner l'algorithme ci-dessus: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Variables }& k & U & V & n \\ \hline \text{Initialisation }& & 0 & 0 & 4\\ \hline \text{Traitement} & 0 & 0 & 0,0698 & 4 \\ & 1 & 0,0697 & 0,2218 & 4 \\ & 2 & 0,2217 & 0,4667 & 4 \\ & 3 & 0,4666 & 0,8132 & 4 \\ \hline \text{Affichage }& \text{On affiche la valeur de } U: &0,4666 &&\\ & \text{ On affiche la valeur de } V: &&0,8132 & \\ \hline \end{array}$$
    5. En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
    6. On peut donc en déduire que $0,4666 < \mathcal A < 0,8132$.
  1. Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par :
    \[\begin{array}{l c l} U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right] \end{array}.\] On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant V_{n}$.
      1. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$.
      2. Sachant que $U_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]$ et que

        $V_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]$,

        on peut dire que $V_n - U_n = \dfrac{1}{n}\left (f(2)-f(1)\right ) = \dfrac{2\ln(2)-0}{n}= \dfrac{2\ln(2)}{n}$. $V_n-U_n < 0,1 \iff \dfrac{2\ln(2)}{n} < 0,1 \iff 2\ln(2) < 0,1n \iff \dfrac{2\ln(2)}{0,1} < n$

        Or $\dfrac{2\ln(2)}{0,1} \approx 13,86$

        donc le plus petit entier $n$ tel que $V_n-U_n$ soit inférieur à 0,1 est 14.

        Vérification: $V_{13}-U_{13}\approx 0,107 > 0,1$ et $V_{14}-U_{14}\approx 0,099 < 0,1$.
      1. Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
      2. Pour obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ dans l'algorithme, il suffit d'entrer 14 comme valeur de $n$;

      autrement dit, au lieu de « $n$ prend la valeur 4», on entrera «$n$ prend la valeur 14».
Partie C
Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0 ; + \infty[$ par
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]
    1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0 ; + \infty[$.
    2. $F'(x)= \dfrac{2x}{2}\times \ln(x) + \dfrac{x^{2}}{2}\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{2x}{4}= x\ln(x) +\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{2} = x\ln(x)=f(x)$

      Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\:; +\infty[$.
    1. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
    2. La fonction $f$ est croissante sur $[1\:; 2]$ et $f(1)=0$ donc la fonction $f$ est positive sur $[1\:; 2]$;

    on peut donc dire que $\mathcal A = \displaystyle\int_1^2 f(t) \text{d} t$. $\mathcal A = \displaystyle\int_1^2 f(t) \text{d} t = F(2)-F(1) = \left (2\ln(2)-1\right ) - \left (-\dfrac{1}{4} \right ) = 2\ln(2)-\dfrac{3}{4}$
Exercice 4
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