Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014
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Exercice 1 4 points
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.
- Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$. Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
- Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
- Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
- Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
- Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
- Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$.
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.
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