Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ \[(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\] où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
   • Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb C$.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
   • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
   • Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
Calculons le discriminant de cette équation du second degré :
$\Delta = 4a^2-4\left(a^2+1\right) = -4$.
L’équation $(E)$ possède donc deux solutions complexes (non réelles) conjuguées (donc même module).
Pour toute valeur de $\boldsymbol{a}$, les solutions de $ (E) $ dans $ \mathbb C $ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.

2. Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
   • Le nombre $z$ est un réel positif.
   • Le nombre $z$ est égal à 1.
   • Un argument de $z$ est $\theta$.
   • Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
On peut raisonner par élimination. Mais on peut aussi chercher la forme exponentielle de $z$.
$$\begin{align*}z&=1+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ 0+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\left(\text{e}^ {-\frac{\text{i} \theta}{2}}+\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\right) \\ &=2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}
\end{align*}$$
Car, pour tout réel $x$, $\cos(x)=\dfrac{\text{e}^ {\text{i} x}+\text{e}^ {-\text{i} x}}{2}$.
Puisque $\theta$ appartient à l’intervalle $]0;\pi[$ alors $\dfrac{\theta}{2}$ appartient à $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. Ainsi $2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$.
On a donc obtenu la forme exponentielle de $z$.
Un argument de $ z $ est $ \dfrac{\theta}{2} $.
$\quad$
3. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par \[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]
   • La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
   • Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
   • La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
   • Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
$f'(x)=-\text{e}^ {-x}\sin x+\text{e}^ {-x}\cos x=\text{e}^ {-x}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$
$f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{e}^ {-\pi/4}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 0$
Soit $ f’ $ la fonction dérivée de $ f $. On a $ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0 $.
$\quad$
4. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
   • $P(X = 30)$
   • $P(X \leqslant 60)$
   • $P(X \leqslant 30)$
   • $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$
On a $P(X\leq 30) = 1-\text{e}^ {-0,02\times 30} \approx 0,45$.
$\boldsymbol{P(X\leq 30) \approx 0,45}$