Baccalauréat S Asie 20 juin 2019

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Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

 

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$. Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les parties et B sont indépendantes

Partie A

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l'instant $n$, avec $T_n$ exprimé en degré Celsius et $n$ en minute. On a ainsi $T_0 = 80$. On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n + 1$ par l'égalité: \[T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)\] où $k$ est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit $M = 10$ et $k = - 0,2$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n -10\right)$.

1. D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$ ?
2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ :  $T_{n+1} = 0,8 T_n + 2$.
3. On pose, pour tout entier naturel $n$:  $u_n = T_n - 10$.
   1. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n = 70 \times 0,8^n + 10$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
4. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|}\hline \text{Tant que } T \geqslant 40 \\ \hspace{0.8cm} T\gets 0,8T+2 \\ \hspace{0.8cm} n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}$$
   1. Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$. Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
   2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

 

Partie B

Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\theta(t)$ la température du café à l'instant $t$, avec $\theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\theta(0) = 80$.
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\theta$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l'égalité : \[\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M). \]

1. Dans cette question, on choisit $M = 0$. On cherche alors une fonction $\theta$ dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ vérifiant $\theta(0) = 80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\theta'(t) = - 0,2\theta(t)$.
   1. Si $\theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  $f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}$. Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t) = 0$.
   2. En conservant l'hypothèse du a. , calculer $f(0)$. En déduire, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\theta(t)$.
   3. Vérifier que la fonction $\theta$ trouvée en b. est solution du problème.
2. Dans cette question, on choisit $M = 10$. On admet qu'il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : \[g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t},  \text{où }  t  \text{ est exprimé en minute et }  g(t)  \text{ en degré Celsius.} \] Une personne aime boire son café à $40$°. Montrer qu'il existe un unique réel $t_0$ dans $[0~;~+\infty[$ tel que $g\left(t_0\right) = 40$. Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde.