Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Correction Exercice 5
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Correction de l'exercice 4 5 points
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n}.\]
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.
- Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$. $u_0=1$ et $u_1=k$ donc $u_2=\dfrac{k^2}{k\times 1}=k$.
- À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E & &A &B&C&D&E\\ \hline 1& n & u(n) & & & &1 & n & u(n) & &&\\ \hline 2& 0 &1 & &k= & 2,7182818 &2& 0& 1& & k= &0,9\\ \hline 3& 1 & 2,7182818 & & & &3 &1 &0,9 &&&\\ \hline 4& 2 & 2,7182818 & & & &4 &2 & 0,9 &&&\\ \hline 5& 3 &1 & & & &5 &3 &1 &&&\\ \hline 6& 4 & 0,1353353 & & & &6 &4 & 1,2345679 &&&\\ \hline 7& 5 & 0,0067319 & & & &7 &5 & 1,6935088 &&&\\ \hline 8& 6 & 0,0001234 & & & &8 &6 & 2,5811748 &&&\\ \hline 9& 7 &8,315E -07 & & & &9 &7 & 4,3712422&&&\\ \hline 10& 8 &2,061E -09 & & & &10 &8 & 8,2252633 &&&\\ \hline 11& 9 &1,88E -12 & & & &11 &9 & 17,196982 &&&\\ \hline 12& 10 &6,305E -16 & & & &12 &10 & 39,949576 &&&\\ \hline 13& 11 &7,781E-20 & & & &13 &11 & 103,11684 &&&\\ \hline 14& 12 &3,533E-24 & & & &14 &12 & 295,7362&&&\\ \hline 15&13 &5,9E-29 & & & &15 &13 & 942,40349 &&&\\ \hline 16&14 &3,625E-34 & & & &16 &14 & 3336,7738 &&&\\ \hline \end{array}$$
- Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ? On saisit en $B4$ la formule $=B3*B3/($ $$ E$ $$2*B2)$
- Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ quand $k= \text{e }$ et tendent vers $+\infty$ quand $k=0,9$.
$\quad$
$\quad$
$u_3=\dfrac{k^2}{k\times k}=1$
$u_4=\dfrac{1^2}{k\times k}=\dfrac{1}{k^2}$
$\quad$
Dans la suite, on suppose que $k = \:$ e.
On a donc $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ et, pour tout entier nature $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$.
- On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1-1\times n=1-n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+2}\right)-\ln\left(u_{n+1}\right) \\
&=\ln \left(\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) \\
&=\ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{\text{e } u_n}\right) \\
&=\ln \left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)-\ln \text{e } \\
&=v_n-1
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0=\ln \text{e}-\ln 1=1$.
$\quad$
$\quad$ - On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} S_n&=v_0+v_n+\ldots+ v_{n-1} \\
&=n\times \dfrac{v_0+v_{n-1}}{2} \\
&=n\times \dfrac{1+1-(n-1)}{2} \\
&=n\times \dfrac{3-n}{2} \\
&=\dfrac{n(3-n)}{2}
\end{align*}$
$\begin{align*} S_n&=v_0+v_1+v_2+\ldots +v_{n-1} \\
&=\ln \left(u_1\right)-\ln\left(u_0\right)+\ln \left(u_2\right)-\ln\left(u_1\right)+\ln \left(u_3\right)-\ln\left(u_2\right)+\ldots +\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_{n-1}\right) \quad (*)\\
&=\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_0\right) \\
&=\ln \left(u_n\right) \end{align*}$
Car $u_0=1$ et $\ln 1 =0$
À l’étape $(*)$ les termes se compensent deux à deux à l’exception de $\ln \left(u_n\right)$ et $\ln\left(u_0\right)$. On parle de somme télescopique.
$\quad$ -
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On a donc d’après les deux questions précédentes
- Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.) On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\ln \left(u_n\right) =\dfrac{n(3-n)}{2}$ pour tout entier naturel $n$ non nul soit $u_n=\text{e}^{n(3-n)/2}$.
De plus $\text{e}^{0\times (3-0)/2}=1=u_0$.
Donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\text{e}^{n(3-n)/2}$.
$\quad$
$\begin{align*} u_n<10^{-50} &\iff \text{e}^{n(3-n)/2}<10^{-50} \\
&\iff \dfrac{n(3-n)}{2}<\ln \left(10^{-50}\right) \\
&\iff -n^2+3n-2\ln \left(10^{-50}\right) <0
\end{align*}$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\Delta =3^2-4\times 2\ln \left(10^{-50}\right) \approx 930>0$
Les racines de ce polynômes sont :
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{-2}\approx 16,7$
$x_2=\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{-2}<0$
Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
Le polynôme est donc positif sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$
Par conséquent la plus petit entier naturel $n$ cherché est $17$.
$\quad$
Avec un algorithme, sans utiliser la réponse de la question 5.a :
$\begin{array}{|l|}
\hline
A\leftarrow 1\\
B\leftarrow \text{e }\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que } B\geq 10^{-50} \\
\hspace{1cm} C\leftarrow B \\
\hspace{1cm} B\leftarrow \dfrac{B^2}{ \text{e }\times A} \\
\hspace{1cm} A\leftarrow C \\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\text{Fin Tant que} \\
\text{Afficher } N+1 \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Avec un algorithme, en utilisant la réponse de la question 5.a :
$\begin{array}{|l|}
\hline
U\leftarrow 1\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que } U\geq 10^{-50} \\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U\leftarrow \text{e}^{N(3-N)/2}\\
\text{Fin Tant que} \\
\text{Afficher } N \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
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