Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes. Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ d'unité $100$ mètres. Le plan $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan. La modélisation des spécialistes établit que :

• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=&3+t\\ y &=&6t\\ z &=&- 3t \end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;\]
• la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&10k\\ y&=&2 + 6k\\ z&=&- 4k \end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;\]

 

1. Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
Montrons que les deux droites ne possèdent pas de point d’intersection. Pour cela on résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} 3+t=10k\\6t=2+6k\\-3t=-4k \end{cases} &\iff \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t \\3+t=\dfrac{15}{2}t\\6t=2+\dfrac{9}{2}t \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t\\3=\dfrac{13}{2}t\\\dfrac{3}{2}t=2 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases}k=\dfrac{3}{4}t\\t=\dfrac{6}{13}\\t=\dfrac{4}{3}\end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières équations n’étant pas compatibles, le système n’admet pas de solution et les droites ne sont pas sécantes.
Les deux espèces ne sont donc jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
$\quad$
2. L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
   1. Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
   Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}$.
   On a donc $\vec{u_1}.\vec{n}=3+78-81=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_1$.
   Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est $u_2\begin{pmatrix}10\\6\\-4\end{pmatrix}$.
   On a donc $\vec{u_2}.\vec{n}=30+78-108=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_2$.
   $\quad$
   
   2. On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\vec{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$ appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$. Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale. On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
      
   $H$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $H(3+t;6t;-3t)$.
   $H’$ appartient à la droite $\mathscr{D}_2$. Il existe un réel $k$ tel que $H'(10k;2+6k;-4k)$
   On a donc $\vec{HH’}\begin{pmatrix}10k-3-t\\2+6k-6t\\-4k+3t\end{pmatrix}$.
   Les vecteurs $\vec{HH’}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $\ell$ tel que $\vec{HH’}=\ell \vec{n}$.
   D’après le logiciel de calcul formel cela signifie que $k=\dfrac{675}{1~814}$ et $t=\dfrac{603}{907}$.
   Ainsi les coordonnées de $\vec{HH’}$ sont $\begin{pmatrix} \dfrac{51}{907}\\\dfrac{221}{907}\\\dfrac{459}{907}\end{pmatrix}$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} HH’&=\| \vec{HH’} \| \\
   &=\sqrt{\dfrac{51^2+221^2+459^2}{907^2}} \\
   &\sqrt{\dfrac{262~123}{907}} \\
   &\approx 0,56\end{align*}$
   L’unité est de $100$ mètres.
   Ainsi la distance minimale entre les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est d’environ $56$ mètres.
   $\quad$
3. Les scientifiques décident d'installer une balise en mer. Elle est repérée par le point B de coordonnées (2~;~4~;~0).
   1. Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
   $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $M(3+t;6t;-3t)$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} BM&=\sqrt{(3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t)^2} \\
   &=\sqrt{(t+1)^2+36t^2+16-48t+9t^2} \\
   &=\sqrt{t^2+2t+1+45t^2-48t+16} \\
   &=\sqrt{46t^2-46t+17}
   \end{align*}$
   La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   La distance $BM$ est donc minimale quand la fonction $t\mapsto 46t^2-54t+17$ l’est.
   Le minimum de cette fonction est atteint quand $t=-\dfrac{-46}{2\times 46}=\dfrac{1}{2}$
   Les coordonnées du point $M$ cherché sont donc $M\left(\dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2}\right)$.
   $\quad$
   
   2. En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
   En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ on obtient :
   $BM=\sqrt{46t^2-46t+17}=\dfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 2,35$.
   L’unité est de $100$ mètres.
   La distance minimale entre la balise et les tortues vertes est d’environ $235$ mètres.
   $\quad$