Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]

Partie A

Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.

1. 1. Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
   $F_0=2^{2^0}+1=3$
   $F_1=2^{2^1}+1=5$
   $F_2=2^{2^2}+1=17$
   $F_3=2^{2^3}+1=257$
   $\quad$
   
   2. Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
   Ces $4$ nombres sont premiers mais cela ne prouve pas que les suivants le sont également.
   $\quad$
2. On considère l'algorithme ci-dessous: $$\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}$$ $F\%N$ désigne le reste de la division euclidienne de $F$ par $N$.
   La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ?
Cela signifie que $F_5$ est divisible par $631$ et donc que $F_5$ n’est pas un nombre premier.
$\quad$

 

Partie B

L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\left(F_{n-1}-1\right)^2+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1=2^{2^{n-1}\times 2}+1=2^{2^n}+1=F_n$
$\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\] On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]
Initialisation : Si $n=1$ alors
$\displaystyle \prod_{i=0}^0 F_i=F_0=3=5-2=F_1-2$
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
$\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $\displaystyle \prod_{i=0}^{n} F_i=F_{n+1}-2$
$\displaystyle \begin{align*}\prod_{i=0}^{n} F_i&=\prod_{i=0}^{n-1} F_i \times F_n \\
&=\left(F_n-2\right)\times F_n \\
&={F_n}^2-2F_n \\
&={F_n}^2-2F_n+1-1 \\
&=\left(F_n-1\right)^2-1 \\
&=F_{n+1}-2
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a
$\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
$\quad$
3. Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n -qF_m = 2$.
Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n>m$ on a :
$\begin{align*} & \displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2 \\
&\iff F_n-\prod_{i=0}^{n-1} F_i= 2 \\
&\iff F_n-F_m\times \prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i= 2 \end{align*}$
Il existe donc un entier naturel $\displaystyle q=\prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i$ tel que $F_n-qF_m=2$
$\quad$
4. En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
D’après la question précédente le PGCD de $F_n$ et $F_m$ doit diviser $F_n-qF_m$ c’est-à-dire $2$.
Ainsi ce PGCD vaut $1$ ou $2$.
Or, pour tout entier naturel $n$, on a $2^{2^n}>0$ donc $F_n$ est un nombre impair et n’est alors pas divisible par $2$.
Le PGCD de $F_n$ et $F_m$ vaut donc $1$ et deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
$\quad$