Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats


Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours. Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours. Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\] où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  1. Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
    1. Calculer $f(20)$. En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
    2. Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ?
  2. On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$. On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que : \[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]
    1. Déterminer les variations de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$.
    2. En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale.

 

Correction Exercice 2
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