Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A , B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A

Un commerçant reçoit les résultats d'une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France. Selon cette étude :

• 54 % des consommateurs privilégient les produits de fabrication française;
• 65 % des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique, et parmi eux 72 % privilégient les produits de fabrication française.

On choisit un consommateur au hasard. On considère les évènements suivants :

• $B$ : « un consommateur achète régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique » ;
• $F$ : « un consommateur privilégie les produits de fabrication française ».

On note $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.

1. Justifier que $P\left(\overline{B} \cap F\right) = 0,072$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(F)=P(B\cap F)+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff 0,54=0,65\times 0,72+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff 0,54=0,468+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff  P\left(\overline{B}\cap F\right)=0,072
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
2. Calculer $P_F\left(\overline{B}\right)$.
On a :
$\begin{align*} P_F\left(\overline{B}\right)&=\dfrac{P\left(\overline{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,072}{0,54} \\
&=\dfrac{2}{15} \\
&\approx 0,133\end{align*}$
$\quad$
3. On choisit un consommateur n'achetant pas régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique. Quelle est la probabilité qu'il privilégie les produits de fabrication française ?
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\overline{B}}(F)&=\dfrac{P\left(\overline{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,072}{1-0,65} \\
&=\dfrac{36}{175}\\
&\approx 0,206
\end{align*}$
$\quad$

Partie B

Le commerçant s'intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 2$.

1. Au début de chaque mois, le commerçant s'assure d'avoir $95$ kg dans son stock. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ?
On veut calculer $P(X > 95) = 0,5-P(90 \leq X \leq 95) \approx 0,006$.
La probabilité qu’il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois est d’environ $0,006$.
$\quad$
2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
À l’aide de la calculatrice on trouve $a\approx 85,89$
Cela signifie que la probabilité que le commerçant vende moins de $85,89$ kilogramme de farine est de $2\%$.
$\quad$

Partie C

On a $n=2~500$ et $p=0,468$.
Par conséquent $n\geq 30$, $np=1~170\geq 5$ et $n(1-p)=1~130 \geq 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,468-1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}};0,468+1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}}\right] \\
&\approx [0,448;0,488]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{1~025}{2~500}=0,41 \notin I_{2~500}$

La clientèle du commerçant n’est donc pas, au risque d’erreur de $5\%$, représentative des consommateurs en France

$\quad$