BAC S 2016 de Mathématiques : Centres Étrangers 8 juin 2016 - Exercice 2
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Exercice 2 6 points
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$, continue et positive sur cet intervalle, et $a$ une réel tel que $0<a<1$. On note :
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Figure
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions $f$, une valeur du réel $a$ vérifiant la condition (E) : «les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$ sont égales». On admet l'existence d'un tel réel $a$ pour chacune des fonctions considérées.
Partie A : Étude de quelques exemples
- Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel $a$ et déterminer sa valeur.
- $f$ est une fonction constante strictement positive.
- $f$ est définie sur $[0~;~1]$ par $f(x)=x$.
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- À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$.
- On note $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. Démontrer que si le réel $a$ satisfait la condition (E), alors $F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$. La réciproque est-elle vraie ?
- Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
- La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}$. Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel $a$ et donner sa valeur.
- La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left[0~;~1\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$. Vérifier que la valeur $a=\dfrac{2}{5}$ convient.
Partie B : Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée de $a$
Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=4-3x^2$.
- Démontrer que si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E), alors $a$ est solution de l'équation : \[x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.\] Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l'intervalle $[0~;~1]$. on note $\alpha$ cette solution.
- On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $g(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
- Calculer $u_1$.
- Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
- Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. À l'aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est $a$.
- On admet que le réel $a$ vérifie l'inégalité $0 < a-u_{10} < 10^{-9}$. Calculer $u_{10}$ à $10^{-9}$ près.
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