BAC S 2016 de Mathématiques : Centres Étrangers 8 juin 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui soont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne.
Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

On admet dans cette partie ue la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.

1. L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.
   1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.
   
   

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ? \[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\]
   $P(X \geqslant 400) = 1-P(X \leqslant 399) \approx 0,94$.
   

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   Donc $P(X \geqslant 400) = 1-P(X \leqslant 399) \approx 0,943$
   En vidéo !
2. Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.
On appelle $X’$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personne acceptant de répondre à la question parmi $n$ personnes.
$X’$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.
On veut que $P(X’ \leqslant 400) > 0,9$.
Si $n=693$ alors $P(X’ \leqslant 400) \approx 0,896~6$
Si $n=694$ alors $P(X’ \leqslant 400) \approx 0,904~5$


 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Donc $P(X’ \leqslant 400) \approx 1-P(X'\leq 399)\approx0,897$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Donc $P(X’ \leqslant 400) \approx 1-P(X'\leq 399)\approx0,905$
Il faut donc interroger $694$ personnes.

 

Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population

Dans cette partie, on suppose que $n$ personnes ont répondu à la question ,et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29% sont favorables au projet d'aménagement.

1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.

La fréquence est égale à  $0,29$. La taille de l'échantillon considéré est égale à $n$
Comme  $ n \geq 50$ ,   $n \times f  =14,5$  et $n\times (1-f)=35,5$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times f \geq 5 \text{ et } n\times (1-f) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[I = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f +\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\]
La fréquence est $f=0,29$.


L'intervalle de confiance au niveau de 95% est $$I_n = \left[0,29 - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~0,29 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] $$

2. Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.
L’amplitude de cet intervalle est donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
On veut ainsi que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04$
Soit $\dfrac{2}{0,04}\leqslant \sqrt{n}$
C’est-à-dire $50 \leqslant \sqrt{n}$ et donc $n \geqslant 2~500$.

 

Partie C : Correction dûe à l'insincérité de certaines réponses

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29% affirment qu'elles sont favorables au projet. L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

• soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.
• soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère.

Par expérience, l'institut estime à 15% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d 'un modèle probabiliste. on prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit :

• $F$ l'événement «la personne est en réalité favorable au projet» ;
• $\overline{F}$ l'événement «la personne est en réalité défavorable au projet» ;
• $A$ l'événement «la personne affirme qu'elle est favorablee au projet»;
• $\overline{A}$ l'événement «la personne affirme qu'elle est défavorable au projet».

Ainsi, d'après les données, on a $p(A)=0,29$.

1. En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$.
$P_F(A) = 1-0,15=0,85$.
Et $P_{\overline{F}}(A)=0,15$ puisque le taux ne change pas en fonction de l’opinion.

2. 
   

   On pose $x=P(F)$. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre. En déduire une égalité vérifiée par $x$ D’après la formule des probabilités totales on a : $\begin{align*} P(A)=P(F\cap A)+P\left(\overline{F}\cap A\right) &\iff 0,29 = 0,85x+0,15(1-x) \\ &\iff 0,29 = 0,85x+0,15-0,15x \\ &\iff 0,14=0,7x \\ &\iff x = \dfrac{0,14}{0,7} \\ &\iff x= 0,2 \end{align*}$ $\quad$ Remarque : on ne demandait à cette question qu’une égalité et non la solution de l’équation !

3. Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.
On veut calculer $P(F)=0,2$
Donc $20\%$ des personnes sont réellement favorable au projet.