BAC S 2016 de Mathématiques : Centres Étrangers 8 juin 2016 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

 

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production. On admet que la variable aléatoie exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 10.
   Affirmation 1 La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.
Affirmation 1 : Vraie
On calcule :
$\begin{align*} P(X \geqslant 187) &= 0,5 + P(187 \leqslant X \leqslant 200) \\
& \approx 0,903 \\
& > 0,9 \end{align*} $


2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , \1,$10^{99}$$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 > \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
 
2. Affirmation 2 L'équation $x-\cos x=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Affirmation 2 : Vraie
On appelle $f$ la fonction définie sur $I=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=x-\cos x$.
Cette fonction est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $I$.
$f'(x)=1-\cos x \geqslant 0$ car $-1\leqslant \cos x \leqslant 1$ pour tout réel $x$.
La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $I$.
De plus $f(0)=-1<0$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intérmédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.
$\quad$ Dans les questions 3. et 4., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ qui admettent pour rerésentations paramétriques respectives : \[\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=-4t\end{cases}, t\in\mathbb{R}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\begin{cases}x=-5t'+3\\y=2t'\\z=t'+4\end{cases}, t'\in\mathbb{R}\]
3. Affirmation 3 Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes.
Affirmation 3 : Fausse
Regardons si le système suivant possède un unique couple solution solution :
$\begin{align*} \begin{cases} 1+2t=-5t’+3 \\2-3t=2t’ \\-4t=t’+4 \end{cases} &\iff \begin{cases} 2t=-5t’+2 \\-3t=2t’-2 \\t’=-4t-4 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 2t=-5(-4t-4)+2 \\-3t=2(-4t-4)-2 \\t’=-4t-4 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 2t=20t+20+2 \\-3t=-8t-8-2\\t’=4t-4\end{cases} \\
&\iff \begin{cases}-18t=22 \\5t=-10\\t’=-4t-4 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} t=-\dfrac{11}{9}\\t=-2\\t’=-4t-4 \end{cases}
\end{align*}$
Ce système ne possède donc pas de solution.
Les droites ne sont pas sécantes.
$\quad$
4. Affirmation 4 La droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan d'équation $x+2y+z-3=0$.
Affirmation 4 : Fausse
Un vecteur directeur de $\mathscr{D}_1$ est $\vec{u}(2;-3;-4)$ et un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;2;1)$.
$\vec{u}.\vec{n}=2-6-4=-8\neq 0$.
Donc la droite $\mathscr{D}_1$ n'est pas parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$ Une autre méthode consiste à déterminer l'intersection de $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{P}$
$\begin{align*}M\in \mathscr{D}_1\cap \mathscr{P} \iff \begin{cases} x=1+2t \\y=2-3t \\z=-4t\\ x+2y+z-3=0 \quad(1) \end{cases} \end{align*}$ $$\begin{align*}(1)\iff& 1+2t+2(2-3t)-4t-3=0\\ \iff& 1+2t+4-6t-4t-3=0\\ \iff& -8t=-2\\ \iff& t= \dfrac{1}{4} \end{align*}$$ En reportant $t= \dfrac{1}{4}$ dans $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=-4t\end{cases} $ on obtient $\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{5}{4}\\z=-1\end{cases}$
Ainsi la droite $\mathscr{D}_1$ perce le plan d'équation $x+2y+z-3=0$ en $I\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\\dfrac{5}{4}\\ -1 \end{pmatrix}$