BAC S 2016 de Mathématiques : Centres Étrangers 8 juin 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On décompose HILL en HI et LL
Ainsi dans un premier temps $X=\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}$
$Y=AX=\begin{pmatrix}51\\105\end{pmatrix}$
Or $51\equiv 25\quad [26]$ et $105\equiv 1 \quad [26]$.
Donc HI est codé par ZB
$\quad$
On prend maintenant le couple de lettre LL $X=\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$
$Y=AX=\begin{pmatrix}77\\154\end{pmatrix}$
Or $77\equiv 25\quad [26]$ et $154\equiv 24 \quad [26]$.
Donc HI est codé par ZY

Donc HILL est codé par ZBZY
$\quad$

Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

 

1. Soit $a$ un entier relatif premier avec 26. Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $u \times a \equiv 1 \:\text{modulo}\: 26$.
$a$ et $26$ sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Bézout il existe donc deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que
$u\times a+26 \times v=1$
En passant au modulo $26$ on a alors $v \times 26\equiv 1\quad [26]$.

2. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|lX|}\hline \text{VARIABLES :} & a, u , \text{ et } r \text{ sont des nombres ( } a \text{ est naturel et premier avec 26)}\\ \text{TRAITEMENT :}& \text{Lire } a \\ & u \text{ prend la valeur 0, et } r \text{ prend la valeur 0 } \\ &\text{Tant que } r \neq 1 \\ &\hspace{0,8cm} u \text{ prend la valeur }u + 1\\ & \hspace{0,8cm}r \text{ prend la valeur du reste de la division euclidienne de } u \times a \text{ par } 26 \\ &\text{ Fin du Tant que } \\ \text{ SORTIE } &\text{Afficher } u \\ \hline \end{array}$$
3. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   u&0&1&2&3&4&5 \\
   \hline
   r&0&21&16&11&6&1\\
   \hline
   \end{array}$$
   L’algorithme permet de fournir un entier naturel $u$ tel que $u\times a \equiv 1\quad [26]$
   
   2. En déduire que $5 \times 21 \equiv 1 \:\text{modulo}\: 26$
   L’algorithme affiche $5$ pour $a=21$ donc $5\times 21 \times 5 \equiv 1\quad [26]$.
4. On rappelle que $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$ et on note $I = Id_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
   1. Calculer la matrice $12A - A^2$.
   $12A=\begin{pmatrix} 60&24\\84&84\end{pmatrix}$
   $A^2=\begin{pmatrix} 39&24\\84&63\end{pmatrix}$
   Donc $12A-A^2=\begin{pmatrix}21&0\\0&21\end{pmatrix}$
   Soit $12A-A^2=21I$.
   
   2. En déduire la matrice $B$ telle que $BA = 21I$.
   $12A-A^2=21I \iff (12I-A)\times A =21I$
   Donc $B=12I-A$.
   $\quad$
   
   3. Démontrer que si $AX = Y$ alors $21X = BY$ .
   Si $AX=Y$ alors $BAX=BY$ soit $21IA=BY$ et donc $21X=BY$.
   $\quad$

Partie C : Déchiffrement

On veut déchiffrer le mot VLUP.

On note $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ la matrice définie par l'égalité : $Y = A X = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}X$.
Si $r_1$ et $r_2$ sont les restes respectifs de $y_1$ et $y_2$ dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$.

1. Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 21x_1 &=& \phantom{-}7y_1 - 2y_2\\ 21x_2 &=&- 7y_1 + 5 y_2 \end{array}\right.$
$B=12I-A=\begin{pmatrix} 7&-2\\-7&5\end{pmatrix}$
Donc $21X=BY \iff \begin{cases} 21x_1=7y_1-2y_2 \\21x_2=-7y_1+5y_2\end{cases}$
$\quad$
2. En utilisant la question B .2., établir que: $\left\{\begin{array}{l c l r} x_1 &\equiv&9r_1 + 16r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26\\ x_2 &\equiv&17r_1 + 25r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26 \end{array}\right.$
On multiplie les deux lignes de ce système par $5$.
$\begin{cases} 5\times 21x_1=35y_1-10y_2\\5\times 21x_2=-35y_1+25y_2\end{cases}$
On passe au modulo $26$ et on utilise le fait que $5\times 21 \equiv 1 \quad[26]$
Donc $\begin{cases} x_1\equiv 9r_1+16r_2 \quad [26] \\x_2=17r_1+25r_2 \quad [26] \end{cases}$
$\quad$
3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices $\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}$.
On prend dans un premier temps $r_1=21$ et $r_2=11$
Donc $x_1\equiv 9\times 21+16\times 11\equiv 365 \equiv 1\quad [26]$
et $x_2 \equiv 17 \times 21+25\times 11 \equiv 632 \equiv 8\quad [26]$
$\quad$
On prend ensuite $r_1=20$ et $r_2=15$
Donc $x_1\equiv 9\times 20+16\times 15\equiv 420\equiv 4\quad [26]$
et $x_2 \equiv 17 \times 20+25\times 15 \equiv 715 \equiv 13\quad [26]$
$\quad$
Ainsi VLUP est la version codé de BIEN.