Baccalauréat S Polynésie 9 septembre 2015 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
   2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
3. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
   2. On considère la proposition suivante : « Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ ». Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4. On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   1. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
   2. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
5. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
   2. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.