Baccalauréat S Polynésie 9 septembre 2015

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Exercice 1 : 7 points

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $Re (z)$.

1. Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
2. Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,$\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

 

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

1. Conjecturer:
   1. les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
   2. la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
   3. la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
2. Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
3. Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
4. 1. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
   2. Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,$\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
   3. En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
5. On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par \[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\] est une primitive de la fonction $h$. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.