Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5] \end{array} \right.$.
Deux matrices carrées d'ordre 2 $\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$.
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

• Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
• Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
• Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-contre : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre $\textsf{T}$ d'un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
• On calcule une nouvelle matrice $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M : $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \text{M} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
• On calcule $r'$ et $t'$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x'$ et $y'$ par 5.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline 0 &\textsf{A} &\textsf{B}& \textsf{C} &\textsf{D} &\textsf{E} \\ \hline 1& \textsf{F} &\textsf{G} &\textsf{H} &\textsf{I}& \textsf{J} \\ \hline 2& \textsf{K} &\textsf{L} &\textsf{M}& \textsf{N}& \textsf{O} \\ \hline 3 & \textsf{P} &\textsf{Q} &\textsf{R} &\textsf{S} &\textsf{T}\\ \hline 4 & \textsf{U} &\textsf{V} &\textsf{X} &\textsf{Y}& \textsf{Z} \\ \hline \end{array}$$ Remarque : la lettre $\textsf{W}$ est remplacée par les deux lettres accolées $\textsf{V}$.

• On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix} r'\\t' \end{pmatrix}$.

1. Bob et Alice choisissent la matrice $\text{M} = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la lettre « $\textsf{T}$» du message initial est codée par la lettre « $\textsf{U}$» puis coder le message « $\textsf{TE}$» .
   $T$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}$
   Or $10\equiv 0~[5]$ et $24\equiv 4~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $U$.
   $\quad$
   $E$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$
   Or $4\equiv 4~[5]$ et $12\equiv 2~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $O$.
   $\quad$
   Le message $TE$ est donc codé par $UO$.
   $\quad$
   
   2. On pose $\text{P} = \begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix}$. Montrer que les matrices PM et $\text{I} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   On a $PM=\begin{pmatrix} 6&10\\10&16\end{pmatrix}$
   Or $6\equiv 1~[5]$, $10\equiv 0~[5]$ et $16\equiv 1~[5]$.
   Donc $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   
   3. On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et $\text{Z} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$, $\text{Z}' =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.
   On note $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $A’=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}$
   Ainsi $AZ=\begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
   Mais :
   – si $a\equiv a’~[5]$  et $x\equiv x’~[5]$ alors $ax\equiv a’x’~[5]$
   – si $e \equiv e’~[5]$ et $f\equiv f’~[5]$ alors $e+f\equiv e’+f’~[5]$.
   Donc $ax+by\equiv a’x’+b’y’~[5]$ et $cx+dy\equiv c’x’+d’y’~[5]$.
   Par conséquent les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$

Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

1. 1. On note $\text{X}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ et $\text{Y} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
   D’après la question précédente, les matrices $PMX$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   D’après la question 1.b. les matrices $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   Par conséquent, les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   Ainsi si on a $MX=Y$ alors, pour décoder la lettre associée à la matrice $Y$  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice $PY$ modulo $5$.
   $\quad$
   
   2. Décoder alors la lettre « $\textsf{D}$» .
   La lettre $D$ est associée à la matrice $Y=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
   $PY=\begin{pmatrix} 9\\12\end{pmatrix}$
   qui est congrue modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$.
   Ainsi la lettre $D$ est décodée en $O$.
   $\quad$
2. On souhaite déterminer si la matrice $\text{R}=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3 \end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
   1. On pose $\text{S} = \begin{pmatrix} 2&2\\4&4 \end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   On a $RS=\begin{pmatrix} 10&10\\20&20\end{pmatrix}$ qui est bien congru modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
   Si $TR$ et $I$ sont congrues modulo $5$ alors, d’après la procédure fournie, les matrices $TRS$ et $IS$ sont congrues modulo $5$.
   Cela signifie donc que $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   
   3. En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
   On note $Q=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   $RS$ est $Q$ sont congrues modulo $5$
   Donc $TRS$ et $TQ$ sont congrues modulo $5$.
   Or $TQ=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=Q$.
   D’après la question précédente cela signifie donc que $I$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
   Or $1$ et $0$ ne sont pas congrus modulo $5$.
   Ainsi la matrice $T$ n’existe pas et un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
   $\quad$