Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation 1 : L'équation $z - \text{i} = \text{i}(z + 1)$ a pour solution $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
Affirmation 1 fausse

$\begin{align*} z-\text{i}=i(z+1)&\iff z-\text{i}=\text{i} z+\text{i} \\
&\iff z-\text{i} z=2\text{i} \\
&\iff z(1-\text{i})=2\text{i} \\
&\iff z=\dfrac{2\text{i}}{1-\text{i}}\end{align*}$
Or $2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \pi/2}$
et $|1-\text{i}|=\sqrt{2}$ donc $|1-\text{i}|=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i} \pi/4}$
Par conséquent :
$\begin{align*} z-\text{i}=i(z+1)&\iff z=\dfrac{2\text{e}^{\text{i} \pi/2}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i} \pi/4}} \\
&\iff =\sqrt{2}\text{e}^{3\text{i}\pi/4}\end{align*}$
Or $\sqrt{2}\text{e}^{3\text{i}\pi/4}\neq \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}$.

$\quad$

2. Affirmation 2 : Pour tout réel $x \in \left] -\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$, le nombre complexe $1 + \text{e}^{2\text{i} x}$ admet pour forme exponentielle $2 \cos x \text{e}^{-\text{i}x}$.

Affirmation 2 fausse

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
$\begin{align*} 2\cos x\text{e}^{-\text{i} x}&=2\times \dfrac{\text{e}^{\text{i} x}+\text{e}^{-\text{i} x}}{2}\times \text{e}^{-\text{i} x} \\
&=1+\text{e}^{-2\text{i} x} \\
&=\overline{1+\text{e}^{2\text{i} x}}  \end{align*}$

Or , sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $1+\text{e}^{2\text{i} x} \neq \overline{1+\text{e}^{2\text{i} x}} $ sauf si $x=0$ (seule valeur pour laquelle l’exponentielle complexe est un réel).

$\quad$

3. Affirmation 3 : Un point M d'affixe $z$ tel que $\big|z - \text{i}\big| = \big|z + 1\big|$ appartient à la droite d'équation $y = -x$.

Affirmation 3 vraie

On appelle $A$ le point d’affixe $\text{i}$ et $B$ le point d’affixe $-1$.
Ainsi : $|z-\text{i}|=|z+1|\iff AM=BM$
Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$.
On appelle $D$ le point d’affixe $-1+\text{i}$.
Ainsi le quadrilatère $OBDA$ est un carré dont les diagonales sont $[OD]$ et $[AB]$.
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et une équation de la droite $(OD)$ est $y=-x$.
Par conséquent le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.

$\quad$

4. Affirmation 4 : L'équation $z^5 + z - \text{i} + 1 = 0$ admet une solution réelle.

Affirmation 4 fausse

Supposons que l’équation $z^5+z-\text{i}+1=0$ possède une solution réelle $z_0$.
On a alors ${z_0}^5+z_0+1=\text{i}$
Cela signifie que $\text{i}$ est un réel ce qui est absurde. La supposition faite est donc impossible.

$\quad$