Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5] \end{array} \right.$.
Deux matrices carrées d'ordre 2 $\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$.
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

• Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
• Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
• Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-contre : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre $\textsf{T}$ d'un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
• On calcule une nouvelle matrice $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M : $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \text{M} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
• On calcule $r'$ et $t'$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x'$ et $y'$ par 5.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline 0 &\textsf{A} &\textsf{B}& \textsf{C} &\textsf{D} &\textsf{E} \\ \hline 1& \textsf{F} &\textsf{G} &\textsf{H} &\textsf{I}& \textsf{J} \\ \hline 2& \textsf{K} &\textsf{L} &\textsf{M}& \textsf{N}& \textsf{O} \\ \hline 3 & \textsf{P} &\textsf{Q} &\textsf{R} &\textsf{S} &\textsf{T}\\ \hline 4 & \textsf{U} &\textsf{V} &\textsf{X} &\textsf{Y}& \textsf{Z} \\ \hline \end{array}$$ Remarque : la lettre $\textsf{W}$ est remplacée par les deux lettres accolées $\textsf{V}$.

• On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix} r'\\t' \end{pmatrix}$.

1. Bob et Alice choisissent la matrice $\text{M} = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la lettre « $\textsf{T}$» du message initial est codée par la lettre « $\textsf{U}$» puis coder le message « $\textsf{TE}$» .
   2. On pose $\text{P} = \begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix}$. Montrer que les matrices PM et $\text{I} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   3. On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et $\text{Z} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$, $\text{Z}' =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.

Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

1. 1. On note $\text{X}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ et $\text{Y} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
   2. Décoder alors la lettre « $\textsf{D}$» .
2. On souhaite déterminer si la matrice $\text{R}=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3 \end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
   1. On pose $\text{S} = \begin{pmatrix} 2&2\\4&4 \end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   2. On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
   3. En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.