Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Fonctions et Suites

Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
i>La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $x\geq 0$ et $x+1>0$.
Par conséquent $f(x)\geq 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
$\quad$
2. En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.
De plus $f(0)=0-\ln(1)=0$.
Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ on a, d’après la question précédente :  $0\leq f(0)\leq f(x)$
Donc $0\leq x-\ln(x+1) \iff \ln(x+1)\leq x$.
$\quad$

 

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
On a $u_1=1-\ln(2)$
et $u_2=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,039$.
$\quad$
2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1\geq 0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geq 0$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_n-\ln\left(1+u_n\right) \geq 0$.
   On a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   D’après la question A.2. on sait que pour tout réel $x$ on a $f(x) \geq 0$.
   Puisque $u_n\geq 0$ on a donc $f\left(u_n\right) \geq 0$.
   La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq 0$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(1+u_n\right)$
   D’après la question précédente on a $u_n\geq 0$ donc $1+u_n\geq 1$ et $\ln\left(1+u_n\right) \geq 0$.
   Ainsi $u_{n+1}-u_n\leq 0$
   et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et $u_0=1$ on a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq u_0$ soit $u_n\leq 1$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
   $\quad$
3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la Partie A . En déduire la valeur de $\ell$.
La limite $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x &\iff x-\ln(1+x)=x \\
&\iff -\ln(1+x)=0 \\
&\iff 1+x=1 \\
&\iff x=0\end{align*}$
Par conséquent $\ell =0$.
$\quad$
4. 1. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
   On peut écrire l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 1 \\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }U\geq 10^{-p} \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U-\ln(1+U) \\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
   On a $u_5\approx 3,96\times 10^{-14}$ et $u_6\approx 4,942\times 10^{-17}$.
   Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, cela signifie  qu’à partir du rang $6$ on a $u_n\leq 10^{-15}$.
   $\quad$
   Remarque : Sur certaines calculatrices(Casio graph75/90, TI83PCE,  en particulier) la calculatrice reste “bloquée” sur environ $4,325\times 10^{-14}$ ou une autre valeur étrange. Pas de soucis avec la Numworks en revanche.
   $\quad$